ПЕРВОЕ ПОЛУГОДИЕ

Числа от 1 до 100

      Нумерация (24 ч)

      Сложение и вычитание (12 ч)

      Основное содержание работы в первом полугодии составляют нумерация двузначных чисел и устные приемы сложения и вычитания в пределах 100. Параллельно изучаются вопросы, относящиеся:

      — к измерению величин (длины, стоимости, времени);

      — к алгебраической пропедевтике (числовые выражения, числовые равенства и неравенства, буквенные выражения, уравнения);

      — к геометрической составляющей курса (длина ломаной линии, периметр многоугольника).

      Продолжается обучение решению задач: рассматриваются новые виды простых и составных задач; вводится понятие задачи, обратной данной; используются различные способы иллюстрирования задачи (в том числе чертеж); вводится запись решения составной задачи выражением; учащиеся знакомятся с разными способами решения задач.

      Как видно даже из перечня вопросов, материал первого полугодия разнообразный, но не сложный. Практически вся первая четверть (8—9 недель), когда рассматривается нумерация чисел в пределах 100 и проводятся первые уроки по теме «Сложение и вычитание», по существу, является подготовкой к изучению устных приемов вычислений с двузначными числами. За это время необходимо повторить материал, изученный в I классе, уделив особое внимание табличным случаям сложения и вычитания. Однако не следует с первых дней требовать заучивания таблиц наизусть. Полезнее поработать над приемами вычислений: решать примеры с подробными, а потом с краткими пояснениями вслух, затем с пояснениями про себя, постепенно ускоряя темп работы. Напомним, что действия с двузначными числами как с помощью устных, так и письменных приемов вычислений также закрепляют знание табличных случаев сложения и вычитания, поэтому при постоянной работе в течение всего года дети, безусловно, усвоят таблицы, что является одним из основных требований программы II класса по математике.

      Перейдем к рассмотрению конкретных тем первого полугодия.

ЧИСЛА ОТ 1 ДО 100

Нумерация

      В итоге работы над темой дети должны овладеть следующими знаниями, умениями, навыками:

       уметь образовывать числа из десятков и отдельных единиц и правильно называть числа в пределах 100;

      — уметь выделять в числе десятки и отдельные единицы и правильно его записывать;

      — знать порядок следования чисел при счете и уметь практически выполнять счет предметов по одному и используя группировку предметов в десятки;

      — уметь сравнивать числа, используя разные знания по нумерации: 34 меньше, чем 35, так как при счете 34 называют раньше, чем 35; 49 меньше, чем 94, так как 4 десятка меньше, чем 9 десятков;

      — уметь складывать и вычитать числа на основе знания: 1) натуральной последовательности: 89 + 1, 90 – 1; 2) десятичного состава чисел: 20 + 5, 25 – 5, 25 – 20; уметь заменять число, содержащее десятки и единицы, суммой разрядных слагаемых: 78 = 70 + 8;

      — иметь конкретные представления о новых единицах длины — миллиметре и метре, усвоить соотношения между изученными единицами (1 м = 10 дм, 1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см), научиться находить длину предметов с помощью как одной, так и двух единиц длины, а также заменять одни единицы другими;

      — знать, что в 1 р. содержится 100 к., научиться набирать 1 р. одинаковыми и разными монетами.

      Как уже отмечалось, в процессе изучения этой темы повторяется материал I класса: отрабатываются навыки табличного сложения и соответствующих случаев вычитания, закрепляются умения решать простые и составные задачи, выполняются упражнения с геометрическими фигурами (отрезком, ломаной, многоугольником).

      По учебнику на изучение нумерации отводится 16 уроков (см. «Примерное распределение материала», с. 92), однако в зависимости от особенностей конкретного класса учитель может несколько изменить время работы над данной темой.

Наглядные пособия и дидактический материал

Демонстрационные пособия

      1. Пучки — десятки палочек и отдельные палочки для демонстрации образования и десятичного состава двузначных чисел. С этой же целью можно использовать полоски с кружками или треугольниками для иллюстрации десятков (10 полосок по 10 фигур) и единиц (полоски с 1, 2, ... , 9 фигурами). Иногда вместо полосок используют карточки-прямоугольники с изображением числовых фигур (точек) для иллюстрации единиц и карточки-треугольники, изображающие десятки (пособие предложено Л. Г. Петерсон).

      2. Абак — таблица с двумя рядами карманов и надписями «Десятки», «Единицы» (рис. на с. 8 учебника) для иллюстрации позиционного принципа записи двузначных чисел.

      3. Модель метра, на которой выделены дециметры и сантиметры для иллюстрации отдельных чисел (например, 32 см — это 3 дм и еще 2 см) и для иллюстрации натурального ряда чисел.

      4. Карточки с цифрами 0, 1, 2, ... , 9 и числами 10, 20, 30, ... , 90 для образования двузначных чисел и замены двузначных чисел суммой разрядных слагаемых.

Индивидуальные пособия

      1. Пособие, с помощью которого учащиеся могут иллюстрировать образование и десятичный состав двузначных чисел (пучки палочек и отдельные палочки или их рисунки).

      2. Карточки с цифрами 1, 2, ... , 9 и числами 10, 20, ... , 90.

      3. Модель метра с выделением дециметров и сантиметров, изготовленная самими учащимися.

      На первом уроке при ознакомлении детей с учебником выясняют, что можно узнать по обложке, титульному листу, оглавлению. Опираясь на с. 3, можно не только прочитать название темы, но и узнать, кто уже умеет считать до ста, читать и записывать числа, бóльшие 20, и т. п. Дети, как правило, проявляют большой интерес к новым числам, однако на первых уроках учебник рекомендует повторить основные вопросы нумерации на изученном материале.

      Упорядочивая числа (с. 4, № 1; с. 5, № 1), дети читают их, сравнивают («Какое число самое маленькое? Какое самое большое?»), объясняют десятичный состав отдельных чисел («Сколько десятков и отдельных единиц в числе 15? в числе 19?»); вспоминают правила записи двузначных чисел, объясняя, на каком месте, считая справа налево, записывают единицы, а на каком — десятки. Здесь же отрабатывается знание порядка следования чисел при счете («Какое число называют при счете перед числом 3? числом 13? числом 23? Какое число называют при счете после числа 6? числа 16? числа 36?» и т. п.).

      Следующим этапом на этих уроках может стать работа над формированием вычислительных навыков. С этой целью полезно выполнить устные вычисления (с. 4, № 2; с. 5, № 2) или письменное решение примеров (с. 4, № 7; с. 5, № 3, 4) с объяснением приемов вычислений. Например, при решении примера 8 – 4 можно вычесть число 4 по частям (8 – 2 – 2), а можно вспомнить состав числа 8 и правило: «Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое» (8 = 4 + 4, 8 – 4 = 4). Другой пример: 2 + 6 — прибавлять число 6 по частям неудобно, применим прием перестановки слагаемых, а в примере 6 + 2, если забыт результат, можно прибавить по частям число 2 (6 + 1 + 1 = 8).

      Так как многие дети испытывают затруднения в записи цифр и в расположении записей в тетради, то для предупреждения ошибок и отрицательных эмоций надо не только отрабатывать приемы вычислений, но и давать образцы выполнения заданий на доске. В школьной практике есть опыт, когда на 1—3-м уроках все задания дети выполняют на листочках, для того чтобы впоследствии не расстраиваться, глядя на плохо оформленную первую страницу тетради.

      Для закрепления вычислительных навыков целесообразно использовать также занимательные упражнения и игры. Некоторые из них даны в учебнике на полях или под заголовком «Задания на смекалку». Так, уже на полях с. 4 есть задание на классификацию «Разбей примеры на две группы». Важно, чтобы, после того как все примеры будут прочитаны и решены (можно записать их на доске), дети назвали разные варианты решения, т. е. нашли разные основания классификации (по числам, по действиям, по ответам). Здесь полезно выделить две группы связанных между собой примеров:

      1) 6 + 3, 3 + 6, 9 – 3, 9 – 6;

      2) 2 + 8, 8 + 2, 10 – 2, 10 – 8.

      Выписывая вместе с детьми первую группу примеров, можно повторить названия чисел при сложении, переместительное свойство и связь между суммой и слагаемыми. Затем предложить по аналогии выписать и решить самостоятельно вторую группу примеров.

      Как видим, это задание наряду с закреплением вычислительных навыков учит детей наблюдать, сравнивать, обобщать, обосновывать свои действия, т. е. носит четко выраженный развивающий характер.

      На самом уроке упражнения, направленные на формирование вычислительных навыков (устное и письменное решение примеров, игры, занимательные упражнения), по усмотрению учителя могут быть даны одним блоком или по отдельности, перемежаясь с другим учебным материалом (задачами, геометрическими заданиями и т. п.).

      Приступая к решению задач (с. 4, № 4), надо вспомнить, что в каждой задаче есть условие и вопрос; в условии записывают то, что известно, а в вопросе — то, что надо узнать. Обычно первую задачу на нахождение суммы дети решают без затруднений. К работе над ней можно привлечь Памятку, которая помогала в I классе решать задачи:

1. Читаем задачу.

2. Называем условие (что известно).

3. Называем вопрос (что надо узнать).

4. Объясняем.

5. Решаем.

6. Называем ответ.

      При составлении второй задачи (на разностное сравнение) следует обратить внимание детей на то, что изменить нужно только вопрос, условие задачи остается прежним. Объясняя решение («Почему для ответа на вопрос надо из 10 вычесть 6?»), следует вспомнить правило: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее».

      Задача № 5 (с. 4) с двумя вопросами и, следовательно, с двумя ответами. После записи ее решения по действиям полезно выяснить, можно ли ответить на второй вопрос, не ответив на первый. Значит, если бы задача была с данным условием и вторым вопросом, все равно нужно было бы самим ставить первый вопрос и отвечать на него, т. е. задача решалась бы двумя действиями. Аналогичная работа проводится по задаче № 7 (с. 5).

      Учебник предлагает также геометрические задачи, которые помогают разнообразить учебную работу, так как, решая их, дети выполняют измерения (с. 4, № 6) и построения (с. 5, № 8). Перед выполнением таких заданий приходится проводить некоторую подготовительную работу. Например, следует вспомнить способы сравнения отрезков: 1) на глаз; 2) наложением («перенеся» один отрезок на карандаш или счетную палочку и приложив его к другому отрезку); 3) измерением. На втором уроке полезно вначале рассмотреть начерченные на доске линии (прямые, кривые — замкнутые и незамкнутые, ломаные); вспомнить все, что дети знают о ломаной. В ходе выполнения задания надо напомнить, как с помощью линейки правильно измерить отрезок или построить ломаную.

      Вероятно, на первых уроках не удастся выполнить все упражнения, данные в учебнике; часть из них можно задать на дом, часть оставить на уроки закрепления.

      В воспитательных целях стоит рассмотреть задания на смекалку, так как они вызывают большой интерес у учащихся. Однако надо учесть, что это задания повышенной трудности. Так, отвечая на первый вопрос (с. 4), не все догадываются, что общее название треугольника и четырехугольников — многоугольники, так как у некоторых детей 3 или 4 угла не ассоциируются с понятием «много». Еще труднее ответить на второй вопрос — надо увидеть, чем похожи каждые две фигуры и чем отличается от них третья (лишняя), т. е. найти и объяснить три варианта решения. Тем не менее с помощью наводящих вопросов можно выполнить эти задания и объяснить решение так, чтобы у детей сложилось убеждение, что они могут решать такие трудные задачи.

      Начиная с третьего урока (с. 6) приступают к изучению нумерации чисел в пределах 100. Прежде всего надо подвести детей к пониманию идеи группировки предметов и возможности считать группы предметов. Учитель может описать такую ситуацию: садовод срезал много астр и решил их связать в букеты по 5 штук; сколько букетов у него получилось? На доске можно нарисовать вразброс 20 кружков или выставить их на фланелеграфе. Далее, отсчитывая по 5 кружков, обводят их замкнутой линией, т. е. группируют в букеты, и считают. Следует обратить внимание детей на то, что считали как всегда, но не отдельные астры, а букеты. Дети вспоминают другие примеры счета групп предметов: ботинки считают парами (говорят: «Купили две пары ботинок», а не «4 ботинка»), пуговицы считают десятками и т. п.

      Чтобы показать детям, что при необходимости сосчитать большое количество предметов (например, спички или скрепки в коробке) неудобно все предметы считать по одному, следует отсчитывать по одному группы по 10 штук, а потом сосчитать десятки. Такую работу можно поручить нескольким «счетчикам» сразу. Результат назовут сами дети (например: пять десятков, или 50 штук).

      После таких упражнений можно перейти к работе по учебнику. Выясняют, что еще в жизни считают десятками, читают текст и приступают к чтению и записи чисел: 1 дес. = 10, 2 дес. = 20 и т. д. После устного выполнения упражнения № 1 (с. 6) можно записать в тетрадях пару примеров на сложение и вычитание десятков с опорой на рисунки или предложить детям самостоятельно придумать похожую пару примеров.

      Заметим, что задания на сложение и вычитание десятков будут предлагаться в дальнейшем почти на каждом уроке; это должно способствовать закреплению не только знаний по нумерации, но и таблицы сложения и вычитания в пределах 10.

      На следующем уроке рассматриваются числа, полученные в результате счета десятков и единиц (с. 7). Вначале можно обратиться к жизненной ситуации. Например, используя те же кружки, которые изображали астры на предыдущем уроке, посчитать, сколько букетов астр срезал садовод в другой день. Получают 4 букета и еще 3 астры. Очень убедительно, на наш взгляд, и такое упражнение: учитель предлагает детям по команде ставить точки на листе бумаги в течение примерно 30—40 с. Затем выясняют, как быстро и без ошибок сосчитать, сколько точек поставил каждый. Дети отсчитывают группы по 10 точек, обводят их замкнутыми линиями и затем сообщают результаты (например, 5 десятков и 8 точек — всего 58). Далее можно выполнить по учебнику упражнения № 1, 2 и рассмотреть таблицу (с. 7). На этом же уроке можно ввести модели десятков и единиц в виде треугольников и отдельных точек. Рассмотрев рисунки кубиков (с. 6), дети убеждаются, что если расположить их так, как показано на рисунке (1 + 2 + 3 + 4), то всего получается 10 кубиков, или 1 десяток. Затем показывают треугольник, заполненный точками (кружками) по такому же «правилу», который будет обозначать десяток. На данном уроке это пособие можно использовать как демонстрационное: дети называют число, которое обозначено треугольниками и отдельными точками, или сами обозначают число с помощью этого пособия. В дальнейшем, когда работать практически с пучками палочек будет трудно, рисунки треугольников и отдельных точек помогут детям хорошо усвоить десятичный состав чисел, при этом треугольники уже не заполняют точками, договариваясь о том, что нарисованные в одну клетку треугольники обозначают десятки, а точки справа от них — единицы. При таком способе детям легко выполнять рисунки в тетрадях:

      На следующем уроке раскрывается позиционный принцип письменной нумерации. Чтобы учащиеся поняли и сами сформулировали правила записи двузначных чисел, как и в I классе, используют абак (с. 8). В верхний ряд карманов выставляют пучки — десятки и отдельные палочки (или их рисунки), называют число, обозначают цифрами, сколько единиц и сколько десятков оно содержит. Объясняют, что обозначает каждая цифра в записанных числах (с. 8, № 2, 3). Особое внимание следует обратить на числа, записанные одинаковыми цифрами (11, 44, 99): первая цифра, считая справа налево, обозначает единицы, вторая цифра обозначает десятки. Уже на этом уроке надо показать, что в числе 20 (40, 90) отсутствуют отдельные единицы, но всего единиц в этих числах 20 (40, 90). Это легко увидеть, если заменить десятки единицами (т. е. развязать пучки и сосчитать палочки по одной).

      Следующий урок (с. 9) посвящен закреплению знаний по нумерации. Дети читают и записывают числа, образуют числа из десятков и единиц, называют десятичный состав двузначных чисел, объясняют значение цифр в записанных числах.

      Вводятся понятия и термины «однозначное число» (содержит только единицы и записывается одной цифрой) и «двузначное число» (обязательно содержит десятки, записывается двумя цифрами, поэтому 01, 02 не являются двузначными числами). Так как, рассматривая ряды чисел (с. 9, № 2), ученики встретятся с числом 100, то можно обратить внимание на его запись: использованы три цифры, это самое маленькое трехзначное число, первое в ряду трехзначных чисел.

      Сравнивая двузначные числа (с. 9, № 3), дети опираются на десятичный состав этих чисел: 16 — это 1 дес. и 6 ед., 60 — это 6 дес., 1 дес. < 6 дес., значит, 16 < 60. Так как названия этих чисел схожи (многие дети не различают их на слух), следует и в дальнейшем почаще включать в устные упражнения сравнение чисел второго десятка и чисел — круглых десятков (13 и 30, 15 и 50 и т. п.).

      Урок, на котором дети будут знакомиться с новой единицей длины — миллиметром (с. 10), также следует использовать для закрепления знаний по нумерации. Например, можно предложить составить и записать числа, используя три заданные цифры (2, 4, 9; 0, 5, 8), выяснить, почему во втором случае можно составить только 4 числа, а не 6, как в первом случае. Попутно повторяют десятичный состав, правила записи двузначных чисел; место отдельных чисел в натуральной последовательности. Подводя учащихся к теме урока, можно поработать с моделью метра, на которой выделены дециметры и сантиметры (иногда ее изготавливают из бумаги и называют «лента ста»):

      — назовите длину отрезка в сантиметрах (показать 3 дм, 5 дм, 9 дм 5 см и т. п.);

      — покажите на этой линейке отрезок длиной 40 см (66 см, 71 см) и скажите, сколько в длине этого отрезка уложилось дециметров (дециметров и сантиметров).

      Далее можно перейти к работе по учебнику (№ 1—3, 7). Важно выяснить, зачем нужны более мелкие единицы измерения (попутно — и более крупные). Учащиеся без особых затруднений отмечают необходимость выбора мерки, удобной для измерения. Следует также обратить внимание на то, что использование двух мерок повышает точность измерения (с. 10, № 2). Сравнение двух значений длины (с. 10, № 3) полезно выполнять с использованием линейки («Найдите на линейке отрезки длиной 1 см и 9 мм. Какой из них длиннее? Запишем: 1 см > 9 мм, поясним во второй строке: 10 мм > 9 мм»). Аналогично: 2 см 1 мм < 3 см, 21 мм < 30 мм.

      На следующем уроке важно не только закрепить знания по нумерации (с. 11, № 1, 4, 7), но и показать практическую значимость изучаемого материала, возможность использования счета и измерения в жизни. Многие учителя предлагают детям с самого начала изучения темы узнать у родителей или выписать из книг интересные сведения («Двузначные числа вокруг нас») и рассказать об этом в классе. Например, на одном из таких уроков дети сообщили: «В нашем доме 50 квартир», «В деревне у бабушки выросла тыква весом (массой) 20 кг».

      Предлагаются практические упражнения в измерении (с. 11, № 2, 3). Можно также показать, как определяют размер рубашки по длине ворота.

      Аналогичные задания можно включить и в следующий урок (с. 12). При выполнении данных в учебнике упражнений важно еще раз подчеркнуть, что с изменением места цифры в записи числа изменяется ее значение (с. 12, № 2, 3, 4).

      При ознакомлении с метром (с. 13) легко подвести детей к необходимости иметь более крупные единицы длины, чем все им известные. Например, детям понятно, что длину и ширину класса неудобно измерять мелкими мерками. Полезно воспроизвести практически все изученные единицы длины: изобразить в тетради и записать соотношения (10 мм = 1 см, 10 см = 1 дм). Метр — известная большинству учащихся мерка, они видели, как метром отмеривают ткани. Кроме того, у них есть представление о метре, так как они работали с «лентой ста». Опираясь на модель метра, легко установить, что 10 дм составляют 1 м. Для закрепления дети читают по учебнику таблицу и находят вокруг расстояния, примерно равные метру. На уроке труда или дома дети изготавливают модель метра, чтобы затем использовать ее на практике (с. 13, № 1).

      Следующие уроки (с. 14, 15) отводятся на закрепление изученного материала. В частности, знание десятичного состава двузначных чисел применяется при сложении и вычитании вида 30 + 5, 35 – 5, 35 – 30, а также при замене числа суммой разрядных слагаемых (36 = 30 + 6). Важно, чтобы, выполняя такие задания, дети не только называли ответ, но и давали пояснения: 3 дес. и 5 ед. — это число 35, из 3 дес. 5 ед. вычтем 5 ед., получим 3 дес., или 30, и т. п. Некоторые дети, не усвоив приема вычисления, пытаются присчитывать и отсчитывать по одному или по частям и, конечно, допускают ошибки. На этих уроках в качестве опоры (особенно для слабоуспевающих детей) надо использовать действия с любыми моделями десятков и единиц (с. 14), а также карточки с записью разрядных чисел: 10, 20, ... , 90; 1, 2, ... , 9 (с. 15).

      Умение оперировать разрядными числами — основа устных приемов вычислений, поэтому, несмотря на кажущуюся легкость, задания на сложение и вычитание разрядных чисел, а также на замену двузначного числа суммой разрядных слагаемых должны включаться систематически в устные упражнения и в решение задач.

      Указанные умения закрепляются, когда приходится вести расчет монетами разного достоинства (с. 16, № 1—3; с. 17, № 4), а также выполнять преобразование величин. Например, надо сравнить 2 м 8 дм и 30 дм. Объяснение: 2 м — это 20 дм, да еще 8 дм, всего 28 дм, 28 < 30, значит, 2 м 8 дм < 30 дм (можно рассуждать и по-другому: 30 дм — это 3 м, 2 м < 3 м).

      Желательно на уроках закрепления (с. 16, 17) связывать вопросы по нумерации и измерению величин, придавая упражнениям практическую направленность. Например, на доске даются рисунки монет: 5 р., 2 р., 1 р. — и купюр (два прямоугольника): 50 р. и 10 р. (можно показать соответствующие купюры). Детям предлагают такие задания.

      — Сколько может быть денег у мальчика, если у него одна купюра и одна монета? (2 купюры и 1 монета? 2 купюры и 3 монеты?)

      — Как можно разменять купюру в 100 рублей одинаковыми купюрами? разными купюрами?

      Для закрепления знаний порядка следования чисел при счете можно использовать такие жизненные ситуации.

      — Какое сегодня число? А какое число было вчера? позавчера? Какое число будет завтра? послезавтра?

      — На каждом этаже 4 квартиры. Номер одной из квартир на первом этаже 38. Какие номера квартир могут быть еще на этом этаже (записать несколько вариантов)? Если 38 — это номер последней квартиры на первом этаже, то на каком этаже находится квартира номер 45?

      — Девочка читает книгу на странице 50. Назовите номера предыдущей и следующей страниц.

      На уроках закрепления можно давать задания по нумерации для самостоятельной работы (с взаимо- или самопроверкой), используя упражнения со с. 18, 20. Если самостоятельные работы будут успешными, то можно провести контрольную работу по теме. В противном случае следует продолжить закрепление материала на уроках при изучении следующей темы «Сложение и вычитание», тем более что до конца первой четверти новых приемов вычислений не вводится, а через одну-две недели знания по нумерации с помощью систематических упражнений будут усвоены всеми учащимися.

      На протяжении всего периода изучения нумерации (по существу, весь сентябрь) значительная часть каждого урока отводится закреплению вычислительных навыков. Как уже отмечалось, с этой целью в уроки включаются игры и занимательные упражнения, а также устные упражнения (8—10 мин), когда отдельные учащиеся называют результаты. Более эффективно — когда обеспечивается обратная связь и дети показывают ответы разрезными цифрами. Удобно использовать самодельный или покупной «числовой веер» или «ромашку» из скрепленных карточек с цифрами. Возможны разнообразные формулировки заданий.

      — Первое слагаемое — 7, второе — 4. Чему равна сумма?

      — Чему равна разность чисел 12 и 3?

      — Увеличьте (уменьшите) 9 на 6.

      — Дополните до 10 числа 9, 7, 6.

      — Сколько надо получить сдачи с 10 рублей, если покупка стоит 5 рублей? 6 рублей? 8 рублей?

      — Сколько надо прибавить к 7, чтобы получилось 12? Сколько вычли из 15, если получилось 9? (Запись на доске имеет вид: 7 +    =12.)

      — Верно ли, что если из числа вычесть это же число, то получится 0? Приведите свои примеры. И т. п.

      При этом следует учесть, что числа, над которыми должны выполняться действия, дети с трудом удерживают в памяти, если подобные задания предлагаются на слух, поэтому учителю надо либо показывать числа на разрезных цифрах, либо записывать их на доске.

      Учебник содержит обширный материал для устных упражнений: ребусы (с. 9), состав чисел (с. 10, 11, 16), пример-цепочка (с. 14), игра «Составим поезд» (с. 15), игра «Поднимись по лесенке» (с. 16), набор монет (с. 17, № 4), игра «Узнай победителя» (с. 18, № 3), игра «Найди лишний пример» (с. 20) и т. д. Данные упражнения помогают быстро и эффективно организовать работу, так как дети воспринимают их и зрительно, и на слух. Кроме того, на основе этих упражнений можно предлагать аналогичные задания.

      При работе над вычислениями не следует упускать возможности развивать у детей наблюдательность, догадку, привычку внимательно воспринимать учебный материал. Хорошие результаты в этом плане дает такой прием: до того как решать любые примеры из учебника, учитель предлагает детям внимательно рассмотреть все столбики и рассказать, что они заметили. Так, рассматривая примеры № 5 (с. 6), дети отмечают, что есть примеры в одно действие, а есть — в два; есть примеры, где нужно выполнить только сложение или только вычитание, а есть примеры, где надо и складывать, и вычитать. Такие задания приучают детей анализировать материал.

      Для формирования приема сравнения полезно сопоставлять столбики примеров или примеры в отдельном столбике (определять, чем они похожи и чем различаются). Так, в № 5 (с. 6) можно сравнить примеры в первом столбике и, не вычисляя, сказать, в каком из них ответ будет меньшим и почему. Или: до решения примеров найти такой столбик, который отличается от всех остальных (с. 7, № 5; с. 9, № 6; с. 12, № 9 и др.). Очень хорошо, если дети выполнят это задание по-разному и приведут свои пояснения. Например, рассматривая примеры в № 6 (с. 9), один ученик скажет: «Третий столбик отличается от всех остальных, он на сложение, а все остальные на вычитание», другой назовет пятый столбик, так как в нем выполняются действия над двузначными числами, оканчивающимися нулем (круглыми десятками), кто-то может выделить четвертый столбик и т. п. Возвращаясь к № 5 (с. 6), можно дать задание: найти в четвертом столбике пример, который отличается от двух других, и решить его (17 – 17 + 8 = 0 + 8 = 8). Часто это задание формулируется так: найдите лишний столбик, лишний пример (в заданиях по геометрии — лишнюю фигуру).

      На основе умения сравнивать формируется умение классифицировать, которое тоже можно развивать, опираясь на вычислительные задания: детям предлагают разбить данные примеры на 2 (3) группы и сказать, по какому признаку выделены эти группы, или спрашивают: «На какие группы можно разбить эти примеры и почему?» Например, на уроке, где вводятся понятия однозначного и двузначного числа (с. 9), после того как дети выполнили задание № 6 на сравнение (нашли столбик примеров, который отличается от всех остальных), можно предложить задание на классификацию. Из всех вариантов разбивки примеров на группы выбирают такой: в одних примерах в ответах получаются однозначные числа, в других — двузначные. Затем выписывают и решают примеры только одной группы. При проверке можно выяснить, почему одни примеры выписали, а другие — нет.

      Особенно детям нравятся задания, в которых предлагается, рассмотрев какой-то столбик примеров, подметить определенную закономерность и составить самим похожие примеры (с. 12, № 9; с. 14, № 6; с. 15, № 5 и др.). Такие задания формируют у детей умение обобщать. Так, после анализа примеров из № 9 (с. 12), можно остановиться на третьем столбике и предложить детям отметить, чем интересны эти примеры (складывают два одинаковых однозначных числа и вычитают 10). Затем предлагают составить свои примеры так, чтобы продолжить этот столбик. Интересно обсудить, почему не подходят примеры: 10 + 10 – 10, 11 + 11 – 10, а почему подходит как «продолжение вверх» пример 5 + 5 – 10. Вначале, естественно, такую работу проводят коллективно (по вопросам учителя, с записью на доске), затем можно предложить выполнить задание, работая в паре, а позже — на выбор: можно решить примеры из учебника, а можно составить похожие примеры самому и решить их.

      Как видно, не очень сложно усилить развивающую роль вычислительных упражнений. Важно включать подобные задания систематически, формируя у детей интерес, желание и умение наблюдать и обсуждать замеченное. Однако ввиду ограниченности времени на уроке приходится отбирать из многочисленных развивающих заданий (которые приводятся в статьях журнала «Начальная школа», сборниках упражнений, альтернативных учебниках) только минимум доступных большинству учащихся данного класса, и так, чтобы успеть все-таки поупражнять детей в вычислениях.

      На каждом уроке, отведенном на изучение нумерации, идет работа над задачами. Вначале решаются простые задачи (с. 6—10). Это задачи на нахождение суммы и остатка, на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, на разностное сравнение. Когда числовые данные позволяют, можно при выборе действия опираться на схему (с. 7, № 3, 4). К задачам дети рисуют «картинки с точками» или работают с фишками, поясняя: мальчиков на 2 больше, чем девочек, значит, берем столько кружков, сколько треугольников, и еще 2 (№ 3); девочек на карусели на 2 меньше, чем мальчиков, значит, их было столько же, сколько мальчиков, но без 2 (№ 4). Схемы к этим задачам выглядят так.

      Опираясь на схемы, легко сравнить задачи и их решения.

      В задачах на разностное сравнение (с. 6, № 4; с. 8, № 6) важно, чтобы дети понимали, что ответ задачи (разность) имеет двоякий смысл — решив задачу, мы отвечаем на два вопроса (папа на 10 лет старше мамы, а мама на 10 лет моложе папы).

      К простым задачам в учебнике предлагаются различные творческие задания: составить задачи по краткой записи; дополнить вопрос или условие, чтобы получилась задача; изменить вопрос так, чтобы задача решалась другим действием, и т. п. В числе простых задач для устного решения надо давать задачи с недостающими и лишними данными, с вопросом, который находится в начале или в середине задачи. Например:

      — Сколько рублей не хватает Юре, если у него есть 10 рублей, а книга стоит 13 рублей?

      — В этом году Диме исполнилось 7 лет. Сколько лет его брату, если он моложе Димы на 2 года?

      В это же время рассматривают задачи, подготавливающие детей к решению составных задач. Это задачи с двумя вопросами (с. 8, № 5), задачи-цепочки (с. 9, № 5). Надо обратить внимание детей на их особенности (нельзя решить вторую задачу, пока не решишь первую). После решения можно сформулировать составную задачу, объединив эти две простые.

      Постепенно в уроки начинают включать составные задачи (с. 11 и далее). Чтобы дети не смешивали простые и составные задачи, важно приучить их, после того как они прочитали задачу, выделили условие и вопрос, спрашивать себя: «Можно ли сразу (одним действием) ответить на вопрос задачи?» Если можно — выбираем действие и решаем задачу, а если нельзя — составляем план решения, т. е. говорим: что узнаем сначала (первым действием), а что узнаем потом (вторым действием). На первых порах это подробное пояснение дети выполняют с помощью учителя.

      Чтобы дети включили составление плана решения в рассуждение при решении задач, целесообразно чаще выполнять работу над задачей по цепочке.

      1. Читаю задачу (сначала все дети читают про себя, а затем один ученик — вслух).

      2. Называю условие (что известно).

      3. Называю вопрос (что надо узнать).

      4. Объясняю (сразу ответить на вопрос задачи нельзя, так как не знаю...).

      5. Составляю план решения (первым действием узнаю..., вторым действием узнаю...).

      6. Решаю.

      7. Называю ответ.

      Как показывает практика, особенно в начале учебного года, надо чаще предлагать задания на сравнение простой и составной задач — с одинаковым условием, но разными вопросами: «Сколько страниц занимает вторая сказка? Сколько страниц занимают две сказки?» (с. 13, № 5). Полезны задания на преобразование простой задачи в составную и наоборот. Например: «Поставьте вопрос так, чтобы задача решалась одним действием» (с. 12, № 6).

      Скажем несколько слов о задачах на смекалку. На с. 9 дана задача, которая решается методом перебора. Предлагается составить и зарисовать наборы из двух овощей, выбирая их из четырех данных (можно предложить в качестве домашнего задания). Чтобы сократить время, можно обозначить овощи начальными буквами их названий (С, М, О, П). Главное, в любом случае обратить внимание детей на систему составления пар. Например, берем первый элемент и составляем пары с остальными, затем берем второй и также составляем пары с остальными, отбрасывая уже составленную пару, и т. д. Затем подсчитываем получившиеся пары (6). Аналогично решается задача № 23 (с. 63). Кроме того, есть задачи, которые решаются подбором (с. 19). Здесь приходится учитывать ряд условий. Помогают в подборе иллюстрации, схематические записи. Например, к первой задаче можно дать такую запись.

      Пусть будет один еж, тогда зайцев будет 6, а белочек 14 – 6 – 1 = 7. Не подходит, так как по условию больше всех было зайцев. Проверяем так же число 2 — оно подходит.

      В содержание контрольной работы по теме «Нумерация в пределах 100» можно включить следующие задания.

      1. Арифметический диктант.

      Запиши числа: 15, 50, 70, 17, 100.

      Запиши число, в котором 3 дес. 8 ед. (8 дес. 3 ед.).

      Сравни числа 67 и 76, вставь знак >, < или =.

      Запиши число 92. Отсчитывая по одному, запиши еще 5 чисел.

      Вставь пропущенное число: 1 м =    см (1 р. =    к.).

      2. Реши задачу.

1 вариант

      Дедушке 64 года, а бабушке 60. На сколько лет дедушка старше бабушки?

II вариант

      Папе 32 года, а мама на 2 года моложе. Сколько лет маме?

      3. Реши примеры.

I вариант

      69 + 1    5 + 30    56 – 50

      40 – 1    89 – 9    20 + 60

II вариант

      6 + 40      49 + 1    34 – 4

      78 – 70    90 – 1    60 – 20

      4. Дополнительное задание (по желанию).

      Запиши число, в котором десятков и единиц поровну (десятков больше, чем единиц; десятков меньше, чем единиц).

Развернутый план урока

Тема: «Замена числа суммой разрядных слагаемых» (с. 15 учебника)

      1. Постановка учебной задачи.

      — Сегодня будем повторять изученный материал и учиться наблюдать. За чем вы наблюдали? Для чего нужно уметь наблюдать? Тот, кто будет наблюдательным, сможет узнать что-то новое сам.

      — Посмотрите внимательно на примеры, которые записаны на доске, решите их устно (записать ответы). Наблюдательные дети смогут составить следующий пример в этом столбике сами.

19 – 10 + 9

28 – 20 + 9

37 – 30 + 9

  . . .

      — Запишите на доске и в тетрадях два примера; следующие два примера составьте сами и решите самостоятельно. Что мы повторили, выполняя это упражнение?

      2. Введение нового материала.

      — Запишите и решите примеры, которые вы видите на доске.

5 + 4    

50 + 40

50 + 4  

5 + 40  

      — Сравните первый и второй примеры (третий и четвертый) — скажите, чем они похожи и чем отличаются.

      — Вы знаете, что если 5 + 4 = 9, значит, 9 = 5 + 4 (запись на доске и в тетрадях). Запишите рядом во втором столбике, сумме каких чисел равно каждое из полученных чисел первого столбика (проверка).

      — Откройте учебник на странице 15. Рассмотрите равенства, отмеченные красной вертикальной чертой,— это новый материал. Здесь показано, как можно заменить двузначное число суммой чисел. Каких чисел? Почему вы сами смогли написать такие равенства?

      3. Закрепление.

      — Рассмотрите и прочитайте равенства, записанные в первом столбике (это образец). Понаблюдайте и скажите, чем второй столбик отличается от третьего. Выберите и запишите в тетради тот столбик, с которым вы справитесь без ошибок. Кто хочет, может составить и записать свои похожие равенства (проверка). Рассмотрите примеры в № 1. На какие группы вы их можете разбить? Будем решать их устно. Ответ покажите на «ромашках». (Какое число надо вычесть из числа 59, чтобы получилось 50? И т. д.) Какие примеры мы не решили (где в ответе однозначное число:    – 60 = 6, 83 –    = 3?)? Решите их и запишите в тетрадях.

      4. Физкультминутка.

      5. Работа над задачами.

      — Будьте такими же наблюдательными, работая над задачей. Прочитайте про себя задачу № 4. Какой букет нарисован на полях: бóльший или меньший? Прочитайте задание. Выполните его, работая в паре (объясните друг другу, какое решение подходит к задаче, и запишите его в тетрадь). Чем отличается первое решение от второго?

      6. Достаньте свои модели метра. Найдите и назовите все отмеченные на этой ленте единицы длины, начиная с самой маленькой. Зачем нужны разные единицы? Есть ли более крупные единицы длины, чем метр? Выполним задание № 2.

      7. Итог.

      — Чему научились на уроке? Кому понравилось наблюдать? Когда на уроке помогло умение наблюдать?

      Сложение и вычитание

      Выделим в этой теме три этапа: первый — четыре недели в первой четверти (см. «Примерное распределение материала», с. 93, уроки 17—32); второй — семь недель во второй четверти, когда изучаются приемы устных вычислений; третий — около пяти недель в третьей четверти, посвященных изучению приемов письменных вычислений.

      Содержание первого этапа составляют знакомство с задачами, обратными задачам на нахождение суммы и остатка; работа над выражениями (понятие числового выражения, порядок действий, сравнение выражений, запись решения составной задачи выражением); изучение переместительного и сочетательного свойств сложения и их использование для рационализации вычислений. Как видно, знания детей о сложении и вычитании значительно углубляются. Кроме того, в это время закрепляются знания по нумерации и отрабатываются навыки табличного сложения и вычитания. Все это создает прочную базу и готовит детей к изучению приемов вычислений с двузначными числами.

К концу первой четверти учащиеся должны:

       усвоить понятие задачи, обратной данной, приобрести опыт в составлении и решении задач на нахождение неизвестного слагаемого, неизвестного уменьшаемого, неизвестного вычитаемого;

      — усвоить понятие числового выражения, уметь читать и записывать числовые выражения в два действия, находить значения выражений со скобками и без них, сравнивать два выражения, учиться записывать решение составной задачи выражением;

      — познакомиться с новой единицей времени — минутой, знать, что в 1 ч содержится 60 мин, научиться определять по часам время с точностью до минуты;

      — знать разные способы нахождения длины ломаной и периметра многоугольника, применять эти знания при решении задач;

      — усвоить сочетательное свойство сложения, применять переместительное и сочетательное свойство сложения для рационализации вычислений.

Наглядные пособия

      Дополнительно к тем наглядным пособиям, которые использовались при изучении нумерации, можно приготовить образцы краткой записи задач, а также циферблат с подвижными стрелками для упражнений в определении времени по часам. Для измерения длины ломаной учителю и детям потребуется не только линейка, но и циркуль.

      Рассмотрим работу над задачами.

      На первом уроке по теме вводится понятие задачи, обратной данной. В учебнике предлагается рассмотреть три взаимно-обратные задачи (с. 22, № 1), их краткие записи и на этой основе сформулировать вывод — как составляют обратные задачи. Решив исходную задачу, надо взять ее ответ и включить его в новую задачу, не меняя сюжета, а одно из известных сделать искомым. Если класс подготовлен, то можно отметить, что первая задача была на нахождение суммы, а вторая и третья — на нахождение одного из слагаемых. Для закрепления проводится аналогичная работа еще над одной задачей.

      Можно ввести понятие задачи, обратной данной, не на готовых задачах, а в процессе составления детьми обратных задач к задаче на нахождение суммы, т. е. вначале коллективно поработать над задачей № 2 (с. 22), выполняя краткие записи на доске и в тетрадях, а затем для закрепления рассмотреть задачу № 1.

      Для предупреждения неверного обобщения (исходная задача решается сложением, а обратные ей — вычитанием) полезно в качестве закрепления дать задачу на нахождение остатка и обратные ей (на этом или следующем уроке).

      Было — 10 кн.

      Взяли — 4 кн.

      Осталось — ?

      ?

      4 кн.

      6 кн.

      10 кн.

      ?

      6 кн.

      Пусть дети сравнят задачи и увидят их сходство и различие.

      На следующем уроке (с. 23), кроме закрепления понятия обратной задачи, проводится работа с отрезками, что очень важно для иллюстрирования задачи с помощью чертежа. Вначале рассматривают сложение отрезков. Можно предложить ученикам самим начертить два отрезка (положим, длиной 4 см и 5 см) так, чтобы конец первого был началом второго. Длину отрезка-суммы можно найти по-разному: 1) измерением; 2) сложением длин отрезков-слагаемых (4 см + 5 см = 9 см) — и убедиться, что получились одинаковые результаты.

      Выполняя второе задание из № 1 (с. 23), дети знакомятся с вычитанием отрезков. Здесь также можно найти результат и измерением, и вычислением (из длины большего отрезка вычитают длину меньшего: 10 см – 4 см = 6 см). Для закрепления выполняется задание № 5 (с. 23). Заметим, что если у детей отсутствуют циркули, то пользуются одним из способов сравнения разности отрезков, а именно — находят длину наибольшей и наименьшей сторон четырехугольников и из большего значения вычитают меньшее. Если циркули имеются, то с их помощью откладывают меньший отрезок на большем и измерением находят длину разности отрезков.

      Следующие два урока отводятся знакомству с задачами на нахождение неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого. Учебник предлагает вводить их последовательно. Если класс подготовлен должным образом (большинство детей хорошо владеют терминологией, а также свободно составляют задачи, обратные данной), то можно избрать и другой подход — ввести эти задачи на одном уроке как обратные задаче на нахождение остатка. Однако и в том случае, когда новые виды задач вводятся последовательно, полезно установить связь со знакомыми задачами, сравнить их и тем предупредить ошибки в решении задач. Известно, что дети часто решают новые задачи как задачи на нахождение остатка, подставляя искомое число в решение.

      Можно начать работу над новым материалом (с. 24) сразу с новой задачи: прочитать ее, рассмотреть рисунок, краткую запись, составить схему или чертеж, выяснить, почему нужно объединять кружки или складывать отрезки, обозначающие те машины, которые остались, и те, которые уехали; записать решение: 6 + 3 = 9 (м.). Затем составить задачу, обратную данной (на нахождение остатка), сделать к ней краткую запись, записать решение: 9 – 3 = 6 (м.). Сравнивая краткие записи, а также решения задач, дети увидят, что новая задача — это задача, обратная задаче на нахождение остатка. Для закрепления проводится аналогичная работа над задачей № 2 (с. 24).

      При решении задач на нахождение неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого дети могут опираться для выбора действия либо на привычные схемы, заменяя предметы фишками (точками, кружками и т. п.), либо на готовые схематические чертежи, которые даются в учебнике или на доске.

      Следующий урок (с. 25) можно начать с решения задачи: «В коробке было 10 карандашей. Коля взял из коробки 4 карандаша. Сколько карандашей осталось в коробке?» Сделать вместе краткую запись задачи, выбрать из трех предложенных соответствующую схему или чертеж. Решение дети выполняют самостоятельно. Затем следует прочитать задачу № 1 (с. 25), рассмотреть ее краткую запись, установить, что это задача, обратная только что решенной. Чертеж поможет детям правильно выбрать действие.

      Задача № 2 (с. 25) — на нахождение неизвестного уменьшаемого — решается сложением, следовательно, к ней подходит схематический чертеж, на котором изображено сложение отрезков. По второму чертежу составляют задачу на нахождение остатка: «У Тани было 7 значков. Она подарила подруге 2 значка. Сколько значков осталось у Тани?» Если время позволит, можно составить и решить и другую обратную задачу к задаче № 2 (с. 25) — на нахождение вычитаемого. Краткую запись и чертеж к ней учитель в процессе беседы с детьми выполнит на доске.

      Следующий урок отводится закреплению умения решать задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого (с. 26). Опираясь на схемы, дети выполняют решение практически (либо рисуют, либо действуют с фишками), объясняя каждый раз выбор действия: из 12 фишек убираем 7, так как 12 фишек обозначают всех овец — и тех, которые убежали, и тех, которые остались. Значит, задача решается вычитанием. Во второй задаче, обозначив точкой (кружочком) одну овцу, рисуют 3 точки (столько овец убежало) и еще 8 точек (столько овец осталось). Объединив все точки, видят, что всего овец 3 да 8. Значит, задача решается сложением. Аналогично используют готовые чертежи, которые могут быть даны учителем на доске.

      Не стоит устанавливать отношение «больше (меньше)» между данным и искомым: «Было овец больше или меньше, чем осталось? Убежало овец больше или меньше, чем?..» Детям трудно понять, что с чем сравнивать. Действительно, чтобы обосновать вычитание при нахождении вычитаемого, легче увидеть другое отношение: уменьшаемое состоит из вычитаемого и остатка, поэтому, чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть остаток. Хотя этот вывод будет сформулирован намного позднее, он лежит в основе тех действий, которые дети выполняют практически. Некоторые методисты рекомендуют при решении этих задач устанавливать связь между целым и частью и даже формулируют выводы: чтобы найти целое, надо сложить части; чтобы найти часть, надо из целого вычесть известную часть. Однако наблюдения показывают, что дети не только применяют эти выводы к задачам на сложение и вычитание, но и пытаются использовать их при решении задач на умножение и деление.

      С нашей точки зрения, полезнее накапливать опыт выполнения практических операций при решении задач на нахождение неизвестного слагаемого (уменьшаемого, вычитаемого). Это будет служить подготовкой к усвоению связей между результатами и компонентами сложения и вычитания и их формулировками: если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое; если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое; если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое (с. 72, 73). Для проверки правильности вычислений, а в дальнейшем для решения уравнений достаточно, если при решении задач этих видов на первых уроках дети преодолеют ориентировку на единственное слово («уехали», «убежали» — значит, надо вычитать) и поймут, что в этих задачах надо внимательно разбирать: что известно, а что надо узнать — и, чтобы решить правильно, полезно опираться на схему или чертеж.

      Обратим внимание учителя на то, что на этом этапе изучения темы «Сложение и вычитание» учебник предлагает использовать составление и решение задачи, обратной данной, как способ проверки решения простой задачи (с. 39, № 4). Предполагается, что к этому времени дети научатся составлять обратные задачи. Теперь характер объяснения меняется — ученик рассказывает, не как он составил обратную задачу, а что показало ее решение. Если, решив обратную задачу, получаем число, которое было известным в исходной задаче, значит, исходная задача решена правильно.

      Наряду с простыми задачами (решаемыми в одно действие) продолжается работа над составными задачами. Вначале их решение по-прежнему записывают по действиям, устно объясняя, что узнавали каждым действием (с. 23, № 2; с. 26, № 4, и др.). В уроки включаются упражнения на сравнение простых и составных задач (с. 27, № 3; с. 46, № 22), на составление задач по рисунку и решению (с. 32, № 4, и др.).

      После введения понятия «числовое выражение» показывается запись решения составной задачи выражением (с. 34, № 4). Если класс недостаточно подготовлен, то не следует форсировать этот способ записи решения задач. Полезнее подольше работать с готовыми выражениями. «Выбери то выражение, которое можно составить для решения данной задачи; объясни, как рассуждали дети, если они при решении одной и той же задачи составили два разных выражения» (с. 35, № 2; с. 36, № 4). Здесь следует пояснить, что эти задачи решены разными способами, и обратить внимание детей на то, что оба способа правильны, так как получился один и тот же ответ. Можно предлагать для выбора также правильно и неправильно составленные выражения. Например, к задаче № 3 (с. 35) дать задание выбрать решение из выражений: 6 + (6 + 2) и 6 + (6 – 2).

      Многие учителя используют в этот период такой прием — предлагают детям самим выбрать способ записи решения: кто хочет — выражением, кому трудно — по действиям. При проверке записывают решение выражением на доске и предлагают пояснить, что узнавали первым действием, что — вторым. После объяснения есть возможность записать решение выражением и для тех детей, кому сразу это выполнить было трудно.

      Важно с первых шагов четко различать разные способы решения (когда различается ход рассуждений при решении задачи) и разные способы записи решения. В последнем случае ход рассуждения, а следовательно, и план решения задачи одинаковые, но в одном случае записывают и выполняют отдельные действия, а в другом — сначала обозначают все действия в одном выражении, а затем находят значение этого выражения. Оформление решения задачи сначала по действиям, а затем одним выражением в начале работы над новым видом задач для многих детей является определенным этапом, переходом от развернутого пояснения действий к свернутому. Поэтому, заботясь о том, чтобы учащиеся осознанно выбирали действия при решении задач, не следует форсировать этот переход, особенно у слабо подготовленных детей.

      Так как уже изучены числа в пределах 100, то и в задачах появляются числа, изображать которые с помощью схематического рисунка становится нецелесообразным. К этому времени дети уже восстановят умение чертить отрезки, научатся складывать и вычитать их (с. 23), поэтому постепенно можно переходить к иллюстрированию задачи с помощью чертежа. Вначале даются готовые чертежи к простой задаче (с. 33, № 5), а затем к составной (с. 37, № 5). В дальнейшем следует давать готовые чертежи с записью на них числовых данных (с. 40), а также без них — с предложением детям самим обозначить данные и искомые числа на чертеже. Полезны задания на выбор чертежа к данной задаче, когда на доске предлагаются правильно и неправильно выполненные чертежи. К построению чертежей самими детьми надо переходить постепенно, так как это занимает много времени на уроке, а также требует от детей достаточного опыта — умения «читать» чертеж, строить отрезки и т. д.

      Рассмотрим линию работы над сложением и вычитанием. В каждый урок включаются устные и письменные упражнения на отработку вычислительных умений и навыков. Это табличные случаи сложения и вычитания, так называемые нумерационные случаи (69 + 1, 90 – 1, 40 + 7, 47 – 40, 47 – 7), сложение и вычитание круглых десятков (60 + 20, 90 – 30), сложение и вычитание с нулем. Числовой материал подобран так, что до решения примеров можно предлагать задания, направленные на формирование умений анализировать («Рассмотрите все примеры и скажите, что вы заметили»); сравнивать («Чем похожи и чем отличаются столбики или примеры в отдельных столбиках?»); классифицировать («На какие группы можно разбить все эти примеры?»); обобщать («Рассмотрите, как составлены примеры в столбике, и составьте свои примеры по этому же правилу»). Продолжить столбики своими примерами в учебнике предлагается достаточно часто, такая возможность обозначается многоточием (с. 22, № 4; с. 24, № 5; с. 25, № 5, и др.). Данные упражнения удобно использовать для дифференцированного обучения: одни дети решат только те примеры, которые даны в учебнике; другие составят и решат столько примеров, сколько смогут за отведенное учителем время.

      Для подготовки детей к введению выражений со скобками (с. 32) в учебнике предлагается заблаговременно включать в устные упражнения как можно чаще такие задания: «Найди сумму (разность) чисел 6 и 4 и прибавь ее к числу 20» и т. п. (с. 23, № 3). При этом можно использовать на доске записи, в которых сумма (разность) выделена, например, овалом (с. 30, № 2). Как видно, такая подготовительная работа поможет детям научиться читать и записывать выражения со скобками.

      К использованию скобок можно подвести так, как предлагается в учебнике: рассмотреть образцы прочитанных и записанных примеров и, опираясь на правило, учить читать и решать такие примеры (с. 32, № 1—3). При чтении помогает такая

Памятка:

      1. Посмотри на знак в скобках и скажи — это сумма или разность.

      2. Посмотри на другой знак и скажи — надо прибавить или вычесть.

      При чтении надо также следить за предлогами: «Прибавить к...», «вычесть из...»

      Можно ввести скобки и по-другому — предложить детям самим составить примеры, используя числа, знаки «+», «–» и сумму (разность), записанные на карточках. Выполняя действия, дети могут получить разные результаты: 10 – 7 + 2 = 1 или 10 – 7 + 2 = 5. Чтобы избежать этого и показать, что из 10 вычитают сумму, используют общий знак — скобки. Договариваются, что в таких примерах сначала находят сумму (разность), т. е. первым выполняют действие в скобках.

      Работая с заданием № 2 (с. 32), дети методом проб находят место скобок. Например, 4 – 1 + 2  = 1. Пробуем к разности 4 – 1 прибавить 2: получается 5, а не 1 (не подходит). Тогда заключаем в скобки сумму чисел 1 и 2, из 4 вычитаем 3, получаем 1. Записываем: 4 – (1 + 2)  = 1 — и читаем: «Из числа 4 вычесть сумму чисел 1 и 2, получится 1». (Это легче и понятнее, чем: «Из четырех вычесть сумму одного и двух...»)

      Естественно, за один и даже за несколько уроков дети не научатся читать и записывать примеры со скобками, но в процессе длительных упражнений с помощью учителя эти умения сформируются (только не надо читать, называя отдельные числа и знаки: 10, плюс, скобка открывается и т. д.).

      Теперь, когда дети знакомы с разными примерами — в одно и два действия, со скобками и без скобок, — можно ввести понятие и термин «выражение». Предложенные записи (с. 34, № 1) включают все известные детям примеры, в которых разные числа (однозначные и двузначные) соединены знаками «+» и «–» в различных сочетаниях. Рассматривая с детьми данные столбики примеров, надо выявить все эти особенности. Безусловно, можно предложить учащимся самим составить и записать разные примеры, используя четыре-пять чисел, знаки действий и скобки, а затем сравнить и выявить существенные признаки (это записи, состоящие из разных чисел, соединенных разными знаками действий, которые могут включать скобки).

      Новые термины постепенно войдут в речь детей, если сам учитель будет их активно использовать. Не стоит тратить много времени и сил на то, чтобы дети быстро перешли на новую терминологию. Пусть наряду с новыми фразами — «запишу выражение», «найду значение выражения» — звучат привычные — «запишу пример», «решу пример». Однако надо настойчиво исправлять, если дети будут смешивать эти фразы и говорить: «Запишу выражение и решу его».

      Чтобы учащиеся усвоили новое понятие, надо начать оперировать им. На первом же уроке дети читают и записывают выражения, находят их значения; выбирают выражение, составленное по данной задаче. На следующем уроке учатся сравнивать выражения (с. 35). Основным способом сравнения является сравнение значений выражений, т. е. надо вычислить значения заданных выражений, сравнить числа и сделать на этой основе вывод о соответствующем отношении выражений («Вычислю..., вычислю..., сравню числа..., поставлю знак...»). Важно, чтобы после того как сделан вывод и поставлен знак, дети читали полученное равенство или неравенство («Разность чисел 5 и 2 меньше, чем сумма чисел 1 и 4»). Позже полезно предлагать и такие выражения, которые можно сравнить, не вычисляя их значения, а выясняя, чем они похожи и чем отличаются. Но после того как объяснение прозвучало, надо для проверки все-таки выполнять вычисление. Учителя иногда формулируют это как требование к оформлению заданий подобного рода — «Сравнение выражений всегда записывайте в две строки».

      Важным моментом является знакомство не только с переместительным, но и с сочетательным свойством сложения. Рассматривая сложения трех слагаемых (с. 38, № 2), дети убеждаются, что результат не изменится, если сначала найти сумму первого и второго слагаемых и прибавить к ней третье слагаемое или сначала найти сумму второго и третьего слагаемых, а затем прибавить эту сумму к первому слагаемому.

      Детей подводят к практическому правилу о том, что можно группировать слагаемые так, как удобно для вычислений: 1 + 50 + 40 + 9 = 50 + 40 + 9 + 1  = (50 + 40) + (9 + 1) = 90 + 10 = 100. Для усвоения этого вывода далее следует систематически включать в устные упражнения задания вида № 3 (с. 39), № 1 (с. 40), № 1 (с. 41) и т. п., в которых надо выбирать наиболее удобный способ нахождения значения выражения.

      Перейдем к рассмотрению геометрического материала (с. 22—46). Как и прежде, в уроки включаются упражнения на различение геометрических фигур: прямая и кривая линии, отрезок прямой, замкнутая и незамкнутая ломаные, различные многоугольники (с. 24, 26, 33 и др.). Есть задания на измерение и построение отрезков, сравнение отрезков на глаз и измерением. Геометрические фигуры используются для развития у детей приемов сравнения (с. 32), классификации (с. 33), обобщения (с. 37). Методика работы над этими упражнениями известна учителю.

      Новой является тема «Длина ломаной». Важно, чтобы к этому уроку дети имели циркули, так как вводятся два способа нахождения длины ломаной (с. 28). Первый способ — измерить каждое звено и полученные длины сложить. Второй способ — отложить с помощью циркуля на прямой последовательно отрезки, равные по длине звеньям ломаной, а затем измерить получившийся отрезок. Оба эти способа закрепляются в дальнейшем, а также используются при нахождении периметра многоугольника (с. 36, № 1; с. 37, № 8, и др.). Здесь также важно, чтобы учащиеся упражнялись не только в сложении длин отрезков, но и в сложении отрезков, которые являются сторонами многоугольников.

      Заметим, что при выполнении задания на смекалку на с. 40 целесообразно построить на клетчатой бумаге прямоугольный треугольник, у которого сторонами прямого угла (катетами) являются отрезки длиной 3 см и 4 см, а гипотенузой — отрезок длиной 5 см, т. е. сделать звенья ломаной сторонами треугольника. При другом способе решения этой задачи надо показывать, как с помощью циркуля и линейки строится треугольник по трем заданным сторонам.

      Постепенно усложняются задания на выделение треугольников и четырехугольников, которые являются частями других многоугольников. Так, в задании «Какой фигуры не хватает?» (с. 39) надо увидеть, что квадрат (корпус лодки) составляется из двух заданных треугольников (не хватает треугольника — «паруса лодки»). В аналогичном задании на с. 45 не хватает уже двух фигур (треугольников: одного маленького, дополняющего четырехугольник — часть «крыши дома», а другого — большого, такого, как заданные три треугольника, так как «домик» составляется из четырех частей). Безусловно, ученик сможет правильно выполнить эти задания сам, если начертит заданные части на клетчатой бумаге, вырежет их и практически сложит фигуру по образцу (что возможно, скорее всего, как домашняя работа).

      Таким же поисковым упражнением является задание № 2 (с. 43) («Как дополнить данный четырехугольник до треугольника?»). Только начертив данный четырехугольник на клетчатой бумаге («Поставьте точку в уголке клетки, отсчитайте 6 клеток вниз и 2 клетки влево — поставьте вторую точку; от нее отсчитайте 2 клетки влево и поставьте третью точку» и т. д.) практически, прикладывая линейку то к одной стороне четырехугольника, то к другой, ученики найдут разные способы преобразования этого четырехугольника в треугольник.

      Рассмотрим кратко изучение темы «Единицы времени. Час. Минута».

      Время — одна из самых трудных для изучения величин. Первые представления о времени у детей формируются еще в дошкольный период и опираются на доступные наблюдения последовательности событий во времени: ежедневные режимные моменты, наблюдения за природными явлениями, за событиями в сказках и т. п. Однако восприятие времени достаточно субъективно, поэтому и в начале школьного обучения дети испытывают трудности при сравнении временны́х промежутков (что длится по времени короче, что дольше), а также с трудом устанавливают последовательность событий (что было раньше, что позже, что за чем следует), особенно в тех случаях, когда подобных наблюдений не было в опыте ребенка или при установлении этих отношений отсутствует опора на наглядную модель.

      В первом классе дети познакомились с единицей времени — часом. Предполагается, что они научились определять время по часам с точностью до часа. Но многие дети к началу второго года обучения утрачивают эти знания и умения. Поэтому на подготовительном этапе в первой четверти полезно предлагать детям упражнения, связанные с установлением временных отношений (раньше — позже, старше — моложе, что за чем следует во времени). За 3—4 урока до начала работы над темой следует предлагать детям следующие задания с использованием циферблата.

      — Какое время показывают часы, если часовая стрелка указывает на число 9, а минутная стрелка — на число 12? (Показ.)

      — На часах ровно 12 часов (11 часов, 6 часов). Покажите, как располагаются стрелки на циферблате.

      В этом случае при ознакомлении с минутой как новой единицей времени дети быстрее поймут, что все часы устроены так: большая (минутная) стрелка проходит расстояние от одной маленькой черточки до другой за 1 мин, а маленькая (часовая) стрелка проходит расстояние от одной большой черточки до другой за 1 ч (показывается на циферблате). Новым на данном уроке будет установление отношения: «В 1 часе 60 минут». Надо показать, что за то время, когда маленькая стрелка сделает один шаг (1 ч), большая сделает полный оборот (сосчитать вместе с детьми: 5 минут да 5 минут — будет 10 минут; 10 минут да 5 минут — будет 15 минут, да еще 5 минут — будет 20 минут и т. д.), пройдет 60 минут.

      Чтобы дети почувствовали длительность минуты, обычно предлагают сделать что-то практически, например узнать, сколько можно решить примеров или записать чисел за 1 мин. Затем можно разобрать пословицу «Минута час бережет». После этого засекают время, которое требуется для решения задачи или примеров (с. 27). Аналогичное задание дают на дом. В дальнейшем предлагаются упражнения на закрепление знания единиц времени (решение задач, задания на сравнение двух значений времени и др.). Особое внимание уделяют формированию умения называть и показывать время на модели часов (с. 27, № 2; с. 29, № 5; с. 39, № 6).

      В конце первой четверти предлагается ряд небольших тематических самостоятельных работ, в которых можно предложить, например, 6 примеров в одно действие и 3 примера в два действия (табличные случаи сложения и вычитания, а также нумерационные случаи); в другой раз можно дать только задачи: одну составную и две простые — например, на нахождение уменьшаемого (вычитаемого) с готовыми краткими записями и задачу на разностное сравнение (на отрезках); наконец, можно дать самостоятельную работу, в которую войдут задания на сравнение выражений, построение ломаной и нахождение ее длины.

Итоговая контрольная работа
за первую четверть

      1. Арифметический диктант.

      Найди разность чисел 11 и 9.

      Найди сумму чисел 9 и 8.

      Увеличь 10 на 7.

      Уменьши 16 на 10.

      Запиши, на сколько 8 меньше, чем 13.

      Запиши, на сколько миллиметров 1 см больше, чем 1 мм.

      2. Реши примеры.

I вариант

5 + 8
18 – 9
100 – 60
10 + 70
30 + 4 – 1
49 – 40 – 9

II вариант

6 + 9
17 – 8
20 + 80
90 – 70
67 – 7 – 1
50 + 9 + 1

      3. Сравни выражения.

I вариант

9 + 7*9 + 8
II вариант

14 – 9*13– 9

      4. Реши задачу.

      

I вариант

В классе было 8 девочек и 6 мальчиков. Потом 10 учеников вышли из класса. Сколько учеников осталось в классе?

      

II вариант

В ателье было 5 готовых плащей. Сшили еще 6 плащей, а 9 плащей продали. Сколько непроданных плащей осталось в ателье?

      5. В качестве дополнительного задания для желающих можно предложить следующее.

      Поставь скобки так, чтобы равенство было верным: 15 – 10 – 4 = 9;     13 – 5 + 2 = 6.

      Или такое.

      Начерти ломаную из трех звеньев разной длины, зная, что длина ломаной равна 10 см.

Развернутый план урока

      Тема: «Переместительное и сочетательное свойства сложения (закрепление)» (с. 40 учебника)

      Учебная задача. Будем повторять изученный материал. Внимательные дети запомнят, как можно помочь себе в случае затруднений.

      1. Устные упражнения.

      — Зачем нужно уметь узнавать время по часам? Кто уже научился этому? Поучимся все вместе.

      — Посмотрите на циферблат и скажите, в какое время встает утром Юра (7 ч 10 мин). А в какое время встаете вы?

      — Затем Юра делает зарядку, убирает кровать, умывается и вот в это время (7 ч 30 мин) садится завтракать. Сколько времени у вас уходит на завтрак?

      — После завтрака (7 ч 45 мин) он тратит на сборы еще 10 мин и выходит из дома в школу. Покажите на циферблате, во сколько Юра выходит из дома.

      — В школу Юра приходит в 8 ч 15 мин. Покажите на циферблате это время и скажите, сколько времени он тратит на дорогу. Сколько времени вы тратите на дорогу в школу? (Проверьте завтра по часам.)

      — Что вам помогло решать такие трудные задачи?

      2. Работа над свойствами сложения.

      — Прочитайте неравенство и проверьте, является ли оно верным (50 + 20 > 20 + 50). Почему оно неверно? Какое свойство сложения помогло вам исправить ошибку? Прочитайте вторую запись: (50 + 30) + 20  = 50 + (30 + 20). Как называется такая запись? Верное или неверное это равенство? Докажите, откройте учебник, прочитайте правило на с. 38. Какие слагаемые заменили здесь суммами? Сегодня поучимся применять эти два свойства сложения.

      — Найдите упражнение № 1 на с. 40 и прочитайте задание. Как удобнее найти сумму трех слагаемых? четырех слагаемых? Остальные выражения запишите в тетради и найдите их значения удобным способом. Что помогло вам быстро и правильно решить эти примеры?

      — Рассмотрите выражения на доске: 14 – 7 – 3, 18 – 9 – 5 – 3. В первом из них ученик сгруппировал второе и третье числа и из 14 вычел 4, получил 10. А на самом деле чему равно значение этого выражения? (Аналогично рассматривается второе выражение.) Сравните эти выражения с предыдущими и скажите, в чем ошибка ученика. (Переставлять и группировать числа можно только при сложении.)

      3. Работа над способами нахождения периметра треугольника.

      — Рассмотрите чертеж на доске (начерчен отрезок, состоящий из отрезков длиной 2 дм, 3 дм, 4 дм; длины не обозначены). Это ученик находил периметр геометрической фигуры. Кто догадался — какой? (После ответов показать треугольник.) Каким способом он находил периметр? (Показать, как откладывались стороны треугольника с помощью циркуля.) Что теперь нужно сделать, чтобы найти периметр этого треугольника?

      — Прочитайте задание № 2. Как здесь удобнее найти периметр треугольника и почему? (Стороны уже измерены, значит, надо сложить длины сторон.) Запишите решение в тетради. Чем похожи эти две задачи и чем они различаются? Что помогло вам быстро решить их? (Знаем разные способы нахождения периметра.)

      4. Работа над задачами.

      — Прочитайте задачу № 5 и объясните, почему к ней дана не схема, а чертеж. Рассмотрите чертеж и скажите: что обозначили с помощью первого отрезка? второго? Как обозначили главный вопрос задачи? Как вам помогает чертеж при решении задачи? Запишите решение задачи по действиям или составьте выражение и найдите его значение.

      — Найдите задание на смекалку на с. 41. Попробуйте выполнить его, работая в паре с соседом (заслушиваются несколько ответов).

      — Давайте сделаем вместе чертеж к этой задаче. Учитель делает чертеж на доске, опираясь на него, дети формулируют ответ1 .

      — Что нам помогло быстро и правильно решить задачу?

      5. Итог урока.

      — Чему научились на уроке? Как можно помочь себе, если встретятся трудности при решении примеров или задач?

      Сложение и вычитание (продолжение)

      Содержание работы на этом этапе составляют устные приемы сложения и вычитания в пределах 100. Продолжается работа над простыми и составными задачами, рассмотренными ранее, а также над задачами новых видов. Вводятся буквенные выражения вида 8 + с, к – 7, а также уравнения вида х + 7  = 10, х – 5 = 6, 12 – х  = 7, которые решаются подбором. Изучаются связи между результатами и компонентами сложения и вычитания, которые на данном этапе применяются для проверки правильности вычислений. Хорошее знание этих связей позволит в дальнейшем (во втором полугодии) успешно решать уравнения. Продолжается работа над геометрическим материалом, введенным на предыдущем этапе (преобразования геометрических фигур, нахождение длины ломаной линии и периметра многоугольника).

      К концу первого полугодия учащиеся должны:

— овладеть приемами устных вычислений, научиться правильно выполнять сложение и вычитание чисел в пределах 100 (кроме случаев вида 45 + 23, 57 – 26, 37 + 48, 52 – 24), к которым применяются письменные приемы вычислений (рассматриваются в третьей четверти);

уметь читать и записывать числовые выражения (со скобками и без них), находить их значения; усвоить понятие буквенного выражения, научиться читать, записывать и находить значения буквенных выражений при заданных значениях входящих в них букв;

— усвоить понятие уравнения, научиться читать, записывать и решать уравнения подбором такого числа, при котором уравнение превращается в верное равенство;

— усвоить связи между результатами и компонентами сложения и вычитания, опираясь на них, установить способы проверки правильности выполнения этих действий и учиться применять способы проверки при вычислениях.

Наглядные пособия и дидактический материал

      1. Для овладения приемами вычислений потребуются демонстрационные и индивидуальные пособия, с помощью которых можно изображать десятки и единицы: пучки — десятки палочек и отдельные палочки или их рисунки. Можно использовать треугольники — десятки кружков и карточки с отдельными кружками (см. рис. на с. 11 настоящего пособия).

      2. Для обучения решению задач полезно иметь иллюстративный материал к отдельным видам задач: краткие записи, чертежи, верно и неверно выполненные решения и т. п. (с. 47—78). Для индивидуальной работы удобно иметь карточки с математическими заданиями.

      3. Для введения понятий буквенного выражения и уравнения целесообразно иметь демонстрационное наборное полотно с прорезями, чтобы вставлять подвижную ленту с набором чисел (с. 64, 67 учебника).

      Рассмотрим работу над устными приемами сложения и вычитания.

      На первом уроке по теме (с. 47) проводится подготовительная работа к введению приемов вычислений с двузначными числами: повторяются переместительное и сочетательное свойства сложения (№ 2, первый столбик), эти свойства применяются при вычислении суммы удобным способом (№ 1); дети упражняются в замене двузначных чисел суммой разрядных слагаемых (№ 5). Часть этих заданий выполняется устно, часть — с записью в тетрадях. В устные упражнения можно включить для повторения десятичного состава чисел случаи вида: 60 + 8, 96 – 6, 39 – 30, а также сложение и вычитание круглых десятков (40 + 30, 80 – 60). Аналогичные задания необходимо давать и на нескольких следующих уроках.

      Как известно, последовательность изучения отдельных случаев сложения и вычитания может быть различна, но традиционно учитывается прежде всего сложность вычислительных приемов: сначала рассматривают приемы, которые включают меньшее число операций, затем — приемы, включающие большее число операций. Например, в сложении: сначала 36 + 2, затем 26 + 4, позже 26 + 7, аналогично — в вычитании.

      Там, где возможно, приемы рассматриваются в сравнении: 36 + 2 и 36 + 20; приемы сложения чередуются с аналогичными приемами вычитания, которые вводятся в сопоставлении с рассмотренными только что приемами сложения. Таким образом, обеспечивается определенный перенос и дифференциация: 36 + 2, 36 + 20 (с. 48) и 36 – 2, 36 – 20 (с. 49); 26 + 4 (с. 50) и 30 – 7 (с. 51); 26 + 7 (с. 56) и 35 – 7 (с. 57). В хорошо подготовленном классе соответствующие приемы сложения и вычитания можно вводить одновременно — так называемыми укрупненными дидактическими единицами.

      Приемы вводятся довольно интенсивно в начале второй четверти, а затем закрепляются на большом промежутке времени — до конца декабря и далее, до конца учебного года. Это объясняется тем, что ученик должен не только освоить систему операций, составляющих каждый прием («алгоритм выполнения действия»), но и научиться выбирать прием применительно к данным числам («алгоритм распознавания»). Каждый учитель сталкивался с таким фактом: дети поняли отдельный конкретный прием, научились решать аналогичные примеры, но после ознакомления со следующими приемами начинают смешивать приемы и допускать ошибки. Вспомним, такое же явление наблюдается при изучении таблиц сложения (таблиц умножения, склонений существительных и т. п.) — пока изучается каждый вопрос в отдельности, все обстоит благополучно, но как только изучена тема в целом, начинаются трудности и ошибки. Поэтому настоящее закрепление умений и формирование навыков происходит тогда, когда приходится решать разные примеры и выбирать из ряда способов действий соответствующий и самый удобный.

      Методика работы, направленная на овладение детьми приемами вычислений, известна учителю. Вначале прием (способ действия) раскрывается с помощью соответствующего предметного действия (например, с пучками палочек и отдельными палочками или другими моделями десятков и единиц). Затем с опорой на иллюстрации дети решают пару примеров с подробной записью и устным пояснением, а после этого — пару примеров с краткой записью и устным пояснением (обычно на первом уроке больше сделать не удается). На основе сравнения всех решенных примеров делается обобщение, как решать подобные примеры: единицы складывают с единицами, десятки — с десятками (с. 48). На следующем уроке для закрепления решают примеры с подробным и кратким пояснением приема и повторяют вывод. Поэтому аналогичные приемы вычитания дети «открывают» с большой долей самостоятельности. Решив с опорой на предметные действия или иллюстрации пару новых примеров с объяснением вслух и сопоставив их с только что решенными примерами на сложение, дети без особых затруднений формулируют вывод: единицы вычитают из единиц, десятки — из десятков (с. 49). Затем переходят к решению примеров на сложение и вычитание, сравнивая приемы вычислений: 54 + 3, 54 – 3, 76 – 20, 76 + 20.

Так как приходится прибавлять к одному из слагаемых, то, чтобы дети не забыли другое слагаемое, разрядные числа, составляющие двузначное число, рекомендуют подписывать под ним в следующей строке, соединяя числа проведенными от руки отрезками («лучиками», «ножками» и т. п. — с. 48—49). Некоторые учителя говорят: «С записью чисел-помощников» — и советуют детям (особенно тем, кто нуждается в этом) не только записывать разрядные числа, но и точкой отмечать то число, к которому прибавляют (из которого вычитают) в этом примере второе число.

      В классе, где особенно много слабо подготовленных детей, на этапе овладения приемами вычислений некоторые методисты рекомендуют использовать как записи, так и модели десятков и единиц:

36 + 20 = 56

      Отметим, что на таких рисунках не следует использовать знаки арифметических действий.

      Вычислительный прием для случаев вида 26 + 4 (с. 50) включает сложение не только единиц, но и десятков. Рассматривая подробную запись, данную под примером, дети видят, что вначале складывают единицы, а затем полученный десяток прибавляют к десяткам. Выполняя краткую запись, можно объяснять короче. Например, решая пример 81 + 9, говорят: 81 — это 80 и 1 (пишут под числом), к 1 прибавить 9, получится 10, 80 и 10 — это 90.

      Сложение (вычитание) круглых десятков не надо объяснять вслух, так как к этому времени у детей уже сформировался навык подобных вычислений (т. е. эти действия выполняются свернуто в уме). Только в случае ошибки приходится объяснять даже давно изученный прием подробно и вслух.

      Для того чтобы у детей не произошло неверного обобщения (суммой заменяют всегда первое число), в данный урок в учебнике предлагается включить несколько примеров вида 60 + 18, 20 + 14, где второе число заменяют разрядными числами и, значит, удобнее сначала сложить десятки, а затем прибавить единицы. Решение таких примеров, кроме того, подготавливает детей к рассмотрению приема вычитания вида 60 – 24.

      Чтобы подготовить детей к овладению приемом для случаев вида 30 – 7, надо использовать специальные упражнения на замену чисел — круглых десятков суммой по образцу: 50 = 40 +    , 70 =    + 10 (с. 49, № 5; с. 51, № 1). В примерах вида 30 – 7 отсутствуют отдельные единицы. Но если дать детям в руки связанные в десятки палочки и спросить, как из 3 десятков вычесть 7 единиц, некоторые дети догадываются развязать 1 десяток и взять из него 7 палочек. Выполнив подробную запись этого приема, дети должны отметить, что и здесь единицы вычитают из единиц — из 10 единиц, которые получают, заменяя уменьшаемое суммой чисел, одно из которых равно 10.

      Особое внимание надо обратить на вычитание нескольких единиц из 100. Например, 100 – 4. Объяснение: 100 — это 90 и 10 (пишут под примером); вычитаем 4 из 10, получится 6; 90 да 6 — получится 96.

      Новый прием полезно на этом же уроке сопоставить с рассмотренными ранее приемами: 76 + 4 и 80 – 4; 48 – 6 и 40 – 6, чтобы дети осознали его особенности.

      Прием вычислений для случаев вида 60 – 24 достаточно сложный и требует особого внимания (с. 52). В отличие от предыдущих приемов, когда вычитали из одной части уменьшаемого и надо было не забыть прибавить другую часть, в новом приеме надо вычесть обе части — и десятки, и единицы. Это хорошо видно детям, когда они выполняют предметные действия, например на палочках.

      Заметим, если используются модели чисел из треугольников и точек, то, изобразив уменьшаемое с помощью треугольников-десятков, надо на этом же рисунке зачеркнуть необходимое число десятков, а в одном из оставшихся треугольников изобразить 10 точек и зачеркнуть из них необходимое число единиц.

      На первом уроке полезно увеличить количество упражнений на основе предметных действий с подробным объяснением, а также рассмотреть примеры на сопоставление приемов (30 + 12 и 30 – 12) и затем обобщить: прибавляем и вычитаем по частям — сначала десятки, потом единицы.

      На следующих трех уроках рассматриваются новые виды задач (с. 53—55) и обязательно закрепляются изученные приемы вычислений, особенно приемы вычитания, которые необходимо давать в сопоставлении. Например: 40 – 6 и 40 – 26; 67 – 30 и 60 – 37. Решать эти примеры полезно с подробным пояснением.

      Последними вводятся устные приемы сложения и вычитания с переходом через десяток вида 26 + 7 (с. 56) и 35 – 7 (с. 57). Сами приемы известны детям — это прибавление и вычитание по частям так, чтобы после первого шага получились круглые десятки: 26 + 4 + 3, 35 – 5 – 2. В устные упражнения полезно включать задания на повторение состава однозначных чисел, а также на дополнение данных чисел до круглого числа. Например, дополни до 30 числа: 24, 26, 27, 28 (с. 55, № 7).

      Некоторые дети, хорошо знающие таблицу сложения, иногда предлагают другой прием: 26 + 7 = 20 + (6 + 7)  = 20 + 13 = 33. Разумеется, не следует запрещать им вычислять таким образом. Однако вводить сразу два приема для всех учащихся на данном этапе нецелесообразно. Наблюдения показывают, что, познакомившись с приемом вычитания с переходом через десяток, многие дети делают неверный перенос этого приема на новые случаи (35 – 7, 7 – 5  = 2, 30 + 2 = 32). Прием, включающий получение круглого десятка (прибавление и вычитание по частям), как более известный детям, осваивается ими без особых затруднений и, кроме того, способствует закреплению табличного сложения и вычитания.

      Во все уроки, отведенные на изучение устных приемов сложения и вычитания, включаются числовые выражения, содержащие два действия (со скобками и без них). Эти упражнения предназначены не только для отработки вычислительных навыков, но и для закрепления умения читать и записывать выражения, для применения правил порядка выполнения действий в выражениях. В тех случаях, когда выражения содержат действия над двузначными числами с использованием изученных приемов вычислений (с. 53, 54 и т. д.), опытные учителя советуют детям записывать промежуточный результат над соответствующим знаком действия, так как многие дети, переходя ко второму действию, забывают полученный результат первого действия. Запись этого числа предупреждает многие ошибки — в частности, помогает детям в выборе приема вычисления. Этот же факт — необходимость зрительного восприятия чисел — надо учитывать при проведении устных упражнений (устного счета). Дети находятся на этапе освоения вычислительных приемов, у них только складывается умение выполнять те операции, которые входят в вычислительный прием, а выбор приема представляет определенные трудности. Поэтому для устных вычислений надо предлагать примеры, либо данные в учебнике, либо записанные на доске. Для того чтобы поддерживать у детей интерес к вычислениям, предлагают примеры с пропущенными знаками действий, задания на сравнение выражений, проверку заданных равенств и неравенств, таблицы (например, № 20 на с. 63), а также игры: круговые примеры, примеры с шифром, занимательные рамки, магические квадраты и т. п.

      На уроках закрепления (с. 58—59) можно предложить детям самостоятельную работу, включающую 8—10 примеров на все рассмотренные случаи сложения и вычитания, с целью выявления тех приемов, которые недостаточно усвоены, чтобы уделить им больше внимания на следующих уроках. Разумеется, в течение трех недель у детей не будут сформированы навыки вычислений, поэтому не следует включать эти случаи в арифметический диктант. Примеры в одно действие дети должны списать (с доски или из учебника) в тетрадь и решать их в своем темпе. Можно также разрешить использовать дополнительные записи тем детям, которым они помогают при вычислениях.

      При ознакомлении с буквенными выражениями и уравнениями (с. 64—71) используются в основном табличные случаи сложения и вычитания и наиболее легкие случаи сложения и вычитания в пределах 100, что вполне закономерно. Поэтому необходимые примеры на закрепление вычислительных навыков учитель подбирает сам, учитывая результаты самостоятельных работ в своем классе. Напомним еще раз, что целесообразно включать приемы вычислений в сопоставлении. Например: 72 + 5, 72 + 8, 72 + 9; 46 + 8, 46 – 8; 57 – 20, 50 – 27 и т. п.

      Далее рассматриваются способы проверки сложения и вычитания * Логика построения уроков такая: сначала на трех-четырех примерах рассматривают связь между результатом и компонентами каждого из этих действий. Для этого к данному примеру составляют обратные примеры. Их предлагают читать с названиями чисел так, как они назывались в первом примере.

40 + 20 = 60

60 – 20 = 40

60 – 40 = 20

      Из суммы 60 вычли второе слагаемое 20, получили первое слагаемое 40 (третий пример — аналогично).

      После того как сделано 3—4 таких конкретных вывода, дети сами смогут обобщить их и сформулировать или прочитать по учебнику вывод: если из суммы двух слагаемых вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое (с. 72).

      Для введения способа проверки вычитания достаточно рассмотреть одну связь, а именно — что получается, если сложить разность и вычитаемое (с. 73).

28 – 6 = 22

22 + 6 = 28

      К разности 22 прибавили вычитаемое 6, получили уменьшаемое 28.

      На основе этих выводов раскрываются способы проверки выполненных действий. Важно, чтобы дети усвоили способ проверки в полной формулировке так, как дано в учебнике: не только называли действие, с помощью которого выполняется проверка, но и указывали, с какими числами эти действия надо выполнять, и обязательно отмечали, в каком случае считают вычисления правильными (если получится другое слагаемое.., если получится уменьшаемое...). Иногда даже добавляют противоположное утверждение (если не получится... значит, в вычислениях допущена ошибка).

      Чтобы дети усвоили способы проверки и пользовались ими правильно, надо включать задания не только вида «решить и проверить», но и «проверить решенные примеры». Тогда учащиеся убеждаются в том, что надо не только выполнить действие над результатом и компонентом, но и сравнить полученное число с имеющимся в примере (увидеть, что они не всегда совпадают). Вот примерные упражнения.

      Проверьте, правильно ли решены примеры.

50 + 24 = 74     50 – 24 = 34     32 + 60 = 90

80 –  7 = 83     43 +  7 = 50     28 +  3 = 58

      Для предупреждения формализма можно предлагать задания, приведенные ниже.

      Рассмотрите примеры и объясните, почему проверка не помогла найти ошибку в вычислениях.

60 – 27 = 47     54 + 6 = 50     87 – 5 = 37

47 + 27 = 60     50 – 6 = 54     37 + 5 = 87

      Образцы такой проверки можно найти в тетрадях своих учеников. Целесообразно привлекать этих же учеников к работе над ошибками, однако называть «автора» в подобных ситуациях не следует, соблюдая известное положение педагогики: «Ученик имеет право на ошибку».

      В дальнейшем в учебнике встречаются задания вида «вычисли и проверь», но чтобы сформировать у детей привычку проверять себя, необходимо систематически предлагать до конца учебного года если не письменно, то устно проверять вычисления. Чтобы ученики действительно пользовались способами проверки, а не только решали заново пример, приходится напоминать им, как правильно выполнять проверку.

      В методическом письме «О контроле и оценке результатов обучения в начальной школе» настоятельно рекомендуется формировать у детей самоконтроль и самооценку и отмечается: «Пока у школьника не сформирован тот или иной навык, он должен иметь право на исправление ошибки, на совместный с педагогом анализ причин своих неудач» (Начальная школа. — 1999. — № 4. — С. 15). В школьной практике широко используется такой прием: учитель не оценивает выполненную работу ученика, а только отмечает неверно решенные примеры, ученик сам исправляет ошибки, после чего совместно определяются пути дальнейшей работы. Во всяком случае, сейчас многие учителя приняли за правило не наказывать за исправления и не снижать за это отметку, а поощрять исправление ошибок самим учеником.

      Рассмотрим работу над задачами.

      Во второй четверти продолжается работа над задачами на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Дети не только составляют и решают эти задачи, но также учатся проверять простые задачи на нахождение суммы и остатка и обратные им, составляя и решая обратные задачи (с. 47, № 6; с. 54, № 4, и др.). Например, после решения задачи № 4 (с. 56) можно предложить детям проверить решение, составив задачу, обратную ей. Допустим, дети составили задачу: «В баке машины было 20 л бензина, добавили 15 л. Сколько литров бензина стало в баке?» После решения обратной задачи дети объясняют, правильно ли решена задача № 4: «Мы решили обратную задачу, получили ответ — в баке стало 35 л бензина; и в условии задачи сказано, что в баке было 35 л, значит, задача решена правильно».

      Заслуживают внимания простые задачи на нахождение суммы, в которых есть выражение «столько, сколько» (с. 53, № 1). Это подготовительные задачи к составным задачам (с. 62, № 9). Решение этих задач не представляет трудности для детей, ошибки иногда возникают при формулировке ответа. Слабо подготовленным детям помогает рисование схем к задачам с небольшими числами. Например: «Нарисуйте в одной строчке 3 квадрата и 2 треугольника, а в другой — столько кружков, сколько квадратов и треугольников вместе. Сколько кружков вы нарисовали и почему?» Так же можно проиллюстрировать задачу № 2 (с. 53), а можно решить ее с опорой на чертеж, который сделает учитель в процессе беседы с детьми.

      — Обозначим отрезком, сколько красных квадратов вырезала Даша (чертит отрезок произвольной длины на доске и делает надпись: 7 кв. — это красные квадраты).

      — Прочитайте, сколько было голубых квадратов, и скажите: их было больше или меньше, чем красных? Значит, второй отрезок начертим меньше, чем первый (продолжает первый отрезок и делает надпись — 4 кв.).

      — Начертим ниже отрезок, который будет изображать зеленые квадраты. Что вы знаете про них? Какой должен быть нижний отрезок? Почему?

      Заметим, что и в схеме, и на чертеже искомое число надо изображать отдельно, для того чтобы показать отношение равенства (столько же, такой же длины и т. п.). Подчеркивая особенности этих задач, можно привести похожую задачу, в которой отсутствует отношение равенства. Например: «Таня, Юра и Света решали примеры. Таня решила 4 примера, Юра — 3. Сколько примеров решила Света?» После того как дети установят, что решить эту задачу нельзя, им предлагается дополнить условие так, чтобы можно было ответить на вопрос задачи.

      Новыми в определенной мере являются простые, а также составные задачи, связанные с движением (с. 54—55). Решая их, дети начинают осознавать такие понятия, как «расстояние» и «пройденный путь», их связь (расстояние можно узнать через пройденный путь). Вначале такие задачи воспринимаются некоторыми детьми с непониманием, скорее как задачи-шутки, где вопрос не соответствует условию: «Две девочки идут с концов моста (аллеи, дорожки). Одна прошла столько-то метров (шагов), другая — столько-то». Вопрос задачи: «Какова длина моста (аллеи, дорожки)?» Дети без труда отвечают, сколько метров (шагов) прошли эти девочки вместе, но часть учащихся не соотносит этот ответ с вопросом задачи. Понять, что, узнав пройденный путь, мы узнаем и расстояние между двумя точками, откуда началось движение, помогут не только чертежи, но и наблюдения за реально движущимися объектами (детьми, машинками, подвижными моделями).

      Важно обратить внимание детей на направление движения — в одном направлении, в разных (в том числе навстречу друг другу). Эти слова и термины усваиваются лучше всего в реальной обстановке (на экскурсии, на прогулке), когда дети сами «моделируют» соответствующие ситуации. Хотя основательная работа над этими понятиями предстоит в III—IV классах, здесь полезно провести некоторые наблюдения, а также отметить особенности чертежей: направления движения обозначают стрелками, место встречи — флажком, пройденный путь и расстояние — отрезками.

      При работе над составными задачами продолжают сравнивать простую и составную задачи (с. 52, № 5). Например, детям предлагается придумать вопрос к данному условию (с. 51, № 5). Пусть они поставят и такой вопрос, чтобы задача решалась двумя действиями, и такой, чтобы задача решалась одним действием. Это поможет им в составлении плана решения составной задачи.

      Эффективным упражнением на различение простой и составной задачи является задание на выбор решения к данным задачам (с. 53, № 3). Чтобы выбор не был случайным, надо прочитать обе задачи, сравнить их условия, вопросы, а затем предложить объяснить, что узнают, выполнив действия в каждом выражении.

      Задания на пояснение смысла составленных выражений встречаются довольно часто (с. 56, № 3; с. 58, № 4; с. 59, № 4 и др.). Предложенные в учебнике выражения полезно дополнять другими, в том числе такими, которые не соответствуют данному условию. Например, к задаче № 3 (с. 56) можно дополнительно дать выражение: 15 – 5, 40 – 15 – 5, 40 + 15. Пусть дети объяснят, что можно узнать, выполнив указанные действия, и почему считают, что последнее выражение нельзя составить по данному условию.

      Полезно обратное задание: на какие вопросы можно ответить, опираясь на данное условие, и какие действия надо выполнить, чтобы ответить на эти вопросы (соответствующие выражения записывают)? Например, по условию задачи № 3 (с. 58) дети составляют следующие вопросы.

      — На сколько больше было девочек, чем мальчиков? (на 6 – 4)

      — Сколько всего девочек и мальчиков было сначала в читальном зале? (6 + 4)

      — Сколько детей стало, после того как пришли еще 8 учеников? ((6 + 4) + 8)

      — Сколько всего стало бы мальчиков, если все пришедшие 8 были мальчики? (4 + 8)

      — Сколько всего стало бы девочек, если все пришедшие 8 были девочки? (6+8)

      Во второй четверти уделяют достаточное внимание обучению решению задач разными способами. Вначале детям предлагаются подготовительные упражнения — рассмотреть готовые решения и объяснить, что узнавали каждым действием (с. 14, № 3; с. 35, № 2; с. 36, № 4). Далее в учебник включаются задания с указанием: «Реши задачу разными способами». Каждый раз полезно выяснять, что это значит — решить разными способами.

      Рассмотрим работу над задачей № 3 (с. 52). Опираясь на ее краткую запись и на представление описанной ситуации, дети под руководством учителя составляют план и записывают решение: (20 + 15) – 5 (вычисляют значение выражения, подчеркивают ответ). Объясняют: сначала узнали, сколько ведер воды было в двух бочках вместе, а потом — сколько ведер воды осталось. Далее учитель предлагает: «Представьте, что воду для поливки цветов брали только из первой бочки. Что можно узнать по таким данным: в бочке 20 ведер воды, 5 ведер воды взяли? Теперь вы знаете, сколько ведер воды осталось в первой бочке и сколько — во второй. Что можно узнать?» Запись решения: (20 – 5) + 15 (вычисляют значение выражения, подчеркивают ответ). Затем учитель предлагает рассмотреть другую ситуацию: 5 ведер для поливки цветов брали из второй бочки. Какое выражение тогда можно составить по задаче? Запись: 20 + (15 – 5) или (15 – 5) + 20. Оба выражения справедливы, так как первым действием узнают, сколько ведер воды осталось во второй бочке, а вторым — сколько всего ведер воды осталось в двух бочках.

      Вычислив значение выражений и сравнив результаты, дети убеждаются в том, что ответ задачи везде одинаковый, хотя рассуждали по-разному и действия выполняли неодинаковые.

      Для закрепления умения можно предложить составить по краткой записи вторую задачу из № 5 (с. 52) и решить ее разными способами.

      Ко второй задаче из № 3 (с. 52) можно составить два разных выражения: 12 – 5 – 2 и 12 – (5 + 2). Рассмотреть эту задачу, вероятно, придется на одном из следующих уроков. Важно, чтобы дети усвоили суть — решая задачу разными способами, при составлении плана решения рассуждают по-разному (ставят разные вопросы, решают задачу разными действиями, но ответ получают одинаковый). Чтобы дети не сводили решение разными способами к манипулированию числами, полезно предложить верное и неверное решение. Например, к последней задаче можно дать выражение 12 – 5 + 2. Пусть дети убедятся в том, что по данной задаче невозможно объяснить, что узнавали каждым действием в этом выражении, и ответ получается другой — значит, это неверный способ решения задачи.

      Умение решать задачи разными способами, особенно самостоятельно искать и находить разные пути решения, — сложное умение, формируется оно не только в начальной, но и в средней школе в течение многих лет, и не только на уроках математики. Способность увидеть отличные от обычных связи и, опираясь на них, выйти на другой ход решения задачи — это один из элементов творчества, и не следует ожидать, что за короткое время дети добьются больших успехов в творческом развитии. Во второй четверти эта работа только начинается и, естественно, проходит под руководством учителя. С расчетом на длительное время в учебнике подобраны специальные задачи и дается указание: «Решите задачу разными способами». Хотя задание звучит одинаково — методика работы должна постепенно меняться, а именно: поиски способов решения должны становиться все более самостоятельными.

      Для усвоения содержания задачи (после того как дети прочитали ее про себя и вслух) используют либо краткую запись, либо чертеж. Чертеж хорошо помогает при решении задач, которые включают увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (с. 47, № 3; с. 63, № 15; с. 78, № 21, и др.). Многие дети смогут решить задачи на смекалку (с. 51—52 и др.), если им подсказать, что к задаче надо сделать чертеж. Опираясь на чертеж, дети быстрее догадываются, как решить задачу разными способами (с. 57, № 4; с. 59, № 4; с. 70, № 3, и др.). Если чертеж сделан на доске, то после решения задачи можно изменить числа (несколько или все) и предложить детям составить по чертежу новую задачу. Несмотря на широкое применение чертежей при работе над задачами во второй четверти, многие дети еще не могут сами сделать чертеж к задаче, поэтому его выполняет либо учитель на доске в процессе беседы с детьми, либо они рассматривают готовый чертеж по учебнику.

      В период закрепления устных приемов сложения и вычитания (с. 58—63) можно предложить тематическую работу, в которую включить одну простую задачу — на нахождение уменьшаемого, вычитаемого или слагаемого. Например: «Когда на полку поставили (с полки сняли) 5 книг, там стало 20 книг. Сколько книг было на полке сначала?» Другая задача — составная, включающая увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и нахождение суммы. Например: «На стоянке было 10 легковых машин, а грузовых — на 4 меньше (больше), чем легковых. Сколько всего машин было на стоянке?» Решение задачи ученики могут записать так, как им удобно, — по действиям или выражением. Желательно сформулировать полный ответ задачи.

      В конце второй четверти дается понятие об уравнении. Чтобы у детей сложилось правильное понятие, надо провести серьезную подготовку. С одной стороны, они должны накопить опыт работы с равенствами, усвоить, что записи со знаком «=» (равенства) могут быть верными и неверными. Таких упражнений, начиная с первого класса, учащиеся выполняли много: проверяли, являются ли данные равенства верными или неверными; составляли верные равенства из заданных выражений; вставляли пропущенные знаки действий или знаки сравнения так, чтобы получились верные равенства и неравенства, и т. п. С другой стороны, нужен определенный опыт работы с переменной. С такими упражнениями дети также сталкивались. Это прежде всего примеры с пропущенными числами (6 +    =  9,     – 4 = 6). Важно, чтобы они решались подбором. Для этого в окошко вставляют друг за другом не одно, а несколько чисел, и дети объясняют, почему некоторые числа не подходят, так как получаются неверные равенства, а одно число подходит, так как получается верное равенство (с. 66, № 6). Заметим, что особенно полезными в этом плане являются неравенства с пропущенными числами, где подбор не ограничивается одним числом, а подходят несколько чисел. Например:    < 3, 4 + 1 >    ,     – 7 < 4 и т. п. К сожалению, по программе 2000 г. неравенства с неизвестным числом не изучаются в начальных классах, хотя для устных упражнений такие задания можно использовать.

      Именно для того чтобы дети приобрели некоторый опыт работы с переменной (этот термин не вводится), перед введением уравнения дается понятие о буквенных выражениях (с. 64—67). Методика введения таких выражений (пока с одной переменной) раскрыта в учебнике. Детям предлагаются простейшие выражения — сумма или разность чисел, одно из которых обозначено окошком:     + 4, 10 –    и т. п. В окошки следует подставлять различные числа, т. е. получать числовые выражения и находить их значения. Затем объясняется, что вместо квадрата (окошка) в математике используют латинские буквы. Дети учатся читать и записывать буквенные выражения, находить их значения при заданных значениях букв (с. 65, № 2). Запись:

k + 7
10 + 7 = 17
7 + 7 = 14

  

k – 7
10 – 7 = 3
7 – 7 = 0

      Вначале учащиеся подставляют вместо буквы только те числа, которые даны в задании, и выполняют вычисления устно или письменно (как показано выше или в таблице № 4 на с. 66).

      По этим записям дети без особых затруднений объясняют, почему получаются разные значения буквенного выражения, почему они увеличиваются или уменьшаются. Позднее (во втором полугодии и в III—IV классах) детям предлагают самим придавать значения входящим в выражение буквам и находить значения полученных числовых выражений. При этом выясняют, какие значения можно придавать буквам, почему не подходят те или иные значения уменьшаемого или вычитаемого, при каком значении буквы получается самое маленькое значение выражения, можно ли назвать самое большое значение выражения и т. п.

      Опираясь на сформированные умения различать верные и неверные равенства и подставлять вместо буквы различные ее значения, знакомят детей с уравнением (с. 68). Уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое надо найти. При нахождении выполняют подстановку заданных чисел (с. 68, № 1) и убеждаются, что данное равенство может быть и неверным, и верным. Чтобы решить уравнение, надо найти только то значение неизвестного, при котором получается верное равенство. Важно, чтобы, подставив каждое из заданных чисел, дети не заменяли равенство неравенством, что часто наблюдается в практике (9 + 7 больше чем 14, значит, 7 не подходит; 9 + 1 меньше, чем 14, значит, 1 не подходит). Надо подставлять значение буквы в равенство и проверять, какое равенство получилось — верное или неверное (9 + 7 = 14 — это неверное равенство, так как 16 не равно 14, значит, неизвестное число не равно 7, а 9 + 5 = 14 — верное равенство, так как 14 равно 14, значит, неизвестное число равно 5).

      На следующем уроке дети должны закрепить знания об уравнении (например, снова прочитать текст на с. 68) и найти уравнения среди различных записей (с. 70, № 1), объяснив, почему они считают, что последние два равенства являются уравнениями, а остальные записи нет. Заметим, что на данном этапе полезно читать уравнения в виде вопроса («Какое число надо прибавить к 60, чтобы получилось 90? Из какого числа надо вычесть 8, чтобы получилось 10?» и т. п.).

      Даже составляя уравнения по таблице (с. 71, № 1), надо находить неизвестное подбором, так как именно в этом случае закрепляется правильное понятие об уравнении. Решение уравнений на основе знания связей между результатами и компонентами будет рассматриваться во втором полугодии, после того как эти связи будут изучены и закреплены на способах проверки вычислений (с. 72—79). На данном этапе в уравнениях используются в основном табличные и нумерационные случаи сложения и вычитания, поэтому подбирать неизвестное число достаточно легко.

      На уроках закрепления можно предлагать такие упражнения.

      1. Проверьте, правильно ли решены уравнения.

      x – 15 = 0

      х = 15

      у + 40 = 40

      y = 40

      96 – х = 0

      х = 0

      2. Запишите уравнения и решите их, подбирая неизвестное число.

      — К какому числу надо прибавить 9, чтобы получилось 17?

      — Из какого числа надо вычесть 10, чтобы получилось 9?

      — Какое число вычли из 87, если получили 80?

      — Какое число прибавили к 20, если получили 26?

      3. На какие группы можно разбить следующие уравнения?

12 – х = 12

7 + у = 7

18 + у = 19

х – 1 = 0

      4. Задание повышенной трудности. Подбери пропущенное число так, чтобы неизвестное число было однозначным.

у –    =  9

х +    =  20

25 – х  =    

39 + y =    

      Работа над уравнениями только начинается в конце второй четверти, поэтому, естественно, уравнения и буквенные выражения не включаются в контрольные работы.

      В итоговую контрольную работу за полугодие можно включить арифметический диктант (куда входят табличные и нумерационные случаи сложения и вычитания), задачу в два действия, примеры на сложение и вычитание в пределах 100 (можно исключить случаи сложения и вычитания с переходом через десяток), а также задания на сравнение выражений и нахождение длины ломаной.

          Итоговая контрольная работа за первое полугодие

    1. Арифметический диктант.
    2. Увеличь 20 на 10.

      Уменьши 76 на 6.

      Найди сумму чисел 50 и 40.

      Уменьшаемое — 70, вычитаемое — 50, найди разность.

      Узнай, на сколько 16 больше, чем 9.

      Запиши, сколько минут в одном часе.

      На сколько миллиметров 1 см больше, чем 1 мм?

      На сколько копеек одна копейка меньше, чем один рубль?

      Запиши выражение и найди его значение:

      а) к числу 60 прибавь разность чисел 40 и 10;

      б) из числа 80 вычти сумму чисел 13 и 7.

    3. Реши задачу.

          

    I вариант

          Брат вырезал 7 снежинок, а сестра — 5 снежинок. Самых красивых 8 снежинок они отнесли в школу. Сколько снежинок у них осталось?

      

          

    II вариант

          В одном ведре 8 л воды, в другом — 6 л. На поливку цветов израсходовали 10 л. Сколько литров воды осталось?


    1. Выпиши только верные равенства и неравенства2.

          

    I вариант

             

          

    II вариант

    46 + 20 < 56 + 20

    90 – 40 > 90 – 30

    40 + 60 = 60 + 40

     

          76 – 20 = 86 – 30

          37 + 10 > 50 – 10

          60 – 10 < 60 – 20


    1. Реши примеры.

          

    I вариант

    75 + 20     60 + 36     43 + 7

    59 – 4       80 – 57     90 – 8

          

    II вариант

              64 + 6     40 + 27     43 + 20

              80 – 9     70 – 45     95 – 40


    1. Дополнительное задание.3

      Длина ломаной из трех звеньев равна 12 см. Какой длины могут быть ее звенья, если известно, что два из них имеют одинаковую длину? Начерти такие ломаные.

Развернутый план урока

      Тема: «Закрепление понятий буквенного выражения и уравнения. Закрепление способов проверки сложения и вычитания» (с. 74 учебника)

          Учебная задача. Учиться проверять и оценивать себя.

    1. Работа над выражением и уравнением.
    2. На доске записи:

      равенство

      буквенное выражение

      неравенство

      уравнение

       

        

            b + 20

            х – 1 = 30

            37 + 9 = 9 + 37

            90 – 27 < 97 – 20

            16 – х

      Вначале столбик с терминами закрыт.

      — Задание на внимание и память. Какие термины вы вспоминаете, глядя на эти записи? (После ответов открыть столбик с терминами.)

       — Называйте термин и читайте нужную запись (соединить линией термин с соответствующей записью).

      — Равенства и неравенства бывают верные и неверные. Какое это неравенство? Запишите и проверьте.

      — Рассмотрите таблицу.

            b

            36

            42

            57

             

             

            b + 20

             

             

             

             

             

      Найдите и запишите значение выражения b + 20, если b = 36, b = 42, b = 57. Что происходит с суммой? Почему она увеличивается? Подберите еще два значения b так, чтобы сумма и далее увеличивалась.

       — Найдите на доске уравнение и запишите его в тетрадь (х – 1 = 30). Что надо сделать, чтобы решить это уравнение? Докажите, что х = 30 не является решением этого уравнения. Какое число является решением этого уравнения?

      — В записи 16 – х =    подберите пропущенное число так, чтобы получилось уравнение. Можно ли подставить 25? 16? 0? (Записать эти уравнения на доске.) Чему равно неизвестное число?

       — Попробуйте оценить свою работу на этом этапе. Кто считает, что уже научился работать с буквенными выражениями и уравнениями?

    3. Проверка вычислений.
    4.  — Рассмотрите примеры на доске и скажите, что вы заметили.

      34 + 6 = 30      49 + 20 = 60     63 – 7 = 64

      89 – 40 = 49    50 – 37 = 27     73 + 8 = 80

      Устно разбирают два примера, вспоминают способы проверки. Далее можно предложить задание: выписать два примера, решить их правильно и проверить.

      — Кто уже научился проверять себя при решении примеров на сложение и вычитание?

    5. Работа над задачами.
    6. Рассмотрите рисунок на с. 74 учебника. Найдите самый короткий путь от избушки до замка (на глаз и измерением). Домашняя работа — выполнить задание, данное в учебнике (уточнить: можно возвращаться по другой дороге).

       — Составьте первую задачу из № 4. Решите и проверьте, составив обратную задачу. Составьте вторую задачу самостоятельно и проверьте ее (с записью в тетради).

      — Прочитайте задачу № 2. Сделаем вместе чертеж к ней на доске.

      — Запишите в тетради решение задачи выражением.

    7. Задание на классификацию (см. выражения на полях с. 74).
    8. — Будете работать в парах. Договоритесь, кто какую группу примеров будет записывать. Решайте и проверяйте себя.

    9.  Итог урока.
    10. — Чему научились на уроке? Оцените свою работу и работу класса на уроке.


      1 Записав кратко дни недели (В, С, Ч), обозначают отрезком произвольной длины число грибов, которые еж принес во вторник. Затем чертят отрезок, обозначающий число грибов, которые еж принес в среду (так как во вторник грибов было на 3 больше, значит, в среду — на 3 гриба меньше). Второй отрезок надо изобразить такой же длины, как первый, а затем уменьшить на 3 единичных отрезка. Аналогично строят третий отрезок, он на 2 таких же единичных отрезка меньше, чем первый отрезок. Теперь четко видно, что третий отрезок больше второго (и даже — на сколько больше), и можно ответить на вопрос задачи.
      Заметим: хотя с точки зрения требований ГОСТа такие изображения нельзя назвать чертежами, полезно иллюстрировать с помощью подобных (схематических) чертежей задачи, которые содержат отношения типа больше — меньше (старше — моложе, дороже — дешевле, тяжелее — легче и т. п.).
    2 Задание оформляется так: 43 + 7 > 37 + 3
                                                        50 > 40
    3 Задание выполняется по желанию учащихся и оценивается отдельно от остальных. Ошибки при решении этой задачи не влияют на оценку за выполнение 1—4-го заданий.