Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс


§ 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

6.1. Простейшие показательные уравнения

      Простейшими показательными уравнениями названы уравнения вида a x =b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике приведены три примера решения простейших показательных уравнений и два примера решения показательных уравнений, сводящихся к простейшим уравнениям.

      Решения и комментарии

      6.7. а ) Решите уравнение

3 x =4 . (1)

      Решение. Так как 4>0 , то уравнение (1) имеет единственный корень x 1 = log 3 4 .
      6.8. а)  Решите уравнение

9 5 x 25 3 x =0 . (2)

      Решение. Уравнение (2) является однородным показательным уравнением первой степени. Так как 3 x 0 , то уравнение (2) можно переписать в виде 3 x ( ( 5 3 ) x 25 9 )=0 , откуда следует, что уравнение (2) равносильно уравнению

( 5 3 ) x 25 9 =0 , (3)

имеющему единственный корень x 1 =2 . Следовательно, уравнение (2) имеет единственный корень x 1 =2 .
      Замечание. Обычно переход от уравнения (2) к равносильному ему уравнению (3) осуществляют делением уравнения (2) на выражение 9 3 x , отличное от нуля при любом x. Именно таким способом будем решать в дальнейшем однородные показательные уравнения (и неравенства).
      Дополнительное задание. Решите уравнение:
      а)   ( 1 2 +1 ) x =32 2 ;      б)   ( 2 3 +1 ) x + ( 3 1 ) x =84 3 .
      Решение. а)  Пользуясь равенствами

1 2 +1 = 2 1 21 = 2 1  и 32 2 = ( 2 1 ) 2 ,

перепишем исходное уравнение в виде

( 2 1 ) x = ( 2 1 ) 2 . (4)

      Так как 2 1>0  и 2 11 , то уравнение (4) и равносильное ему исходное уравнение имеют по единственному корню x 1 =2 .
      б)  Пользуясь равенствами

2 3 +1 = 2( 3 1 ) 31 = 3 1  и 84 3 =2( 42 3 )=2 ( 3 1 ) 2 ,

перепишем исходное уравнение в виде

( 3 1 ) x = ( 3 1 ) 2 . (5)

      Так как 3 1>0  и 3 11 , то уравнение (5) и равносильное ему исходное уравнение имеют по единственному корню x 1 =2 .

6.2. Простейшие логарифмические уравнения

      Простейшими логарифмическими уравнениями названы уравнения вида log a x=b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике приведены три примера решения простейших логарифмических уравнений и два примера решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим уравнениям.

      Решения и комментарии

      6.11.  а)  Решите уравнение log 2 ( log 2 x )=1 .
      Решение. Хотя идея замены неизвестного при решении логарифмических уравнений будет изучаться в следующем пункте, здесь имеется возможность подготовить учащихся к использованию этой идеи.
      Не делая формально замены t= log 2 x , можно заметить, что логарифм по основанию 2 некоторого числа равен 1 тогда и только тогда, когда это число равно 2. Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

log 2 x=2 . (1)

      Так как уравнение (1) имеет единственный корень x 1 =4 , то и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
      6.12.  Решите уравнение:
      a)  log 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7 ;
      в)  2 log 2 ( log 2 x )+ log 0,5 ( log 2 x )=1 .
      Решение. а) Так как log 4 x= log 2 x log 2 4 = log 2 x 2 = 1 2 log 2 x  
и  log 16 x= log 2 x log 2 16 = log 2 x 4 = 1 4 log 2 x , то исходное уравнение можно переписать в виде

( 1 4 + 1 2 +1 ) log 2 x=7 . (2)

      Уравнение (2) равносильно уравнению

log 2 x=4 ,

имеющему единственный корень x 1 =16 . Следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
      в) Так как

log 0,5 ( log 2 x )= log 2 ( log 2 x ) log 2 0,5 = log 2 ( log 2 x ) 1 = log 2 ( log 2 x ) ,

то исходное уравнение можно переписать в виде

log 2 ( log 2 x )=1 . (3)

      Уравнение (3) имеет единственный корень x 1 =4  (см. задание 6.11a). Следовательно, и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
      6.14. а) Решите уравнение log 2 x+ log 3 x= log 3 6 .
      Решение. Так как log 2 x= log 3 x log 3 2 , то исходное уравнение можно переписать в виде

log 3 x log 3 2 + log 3 x= log 3 6 . (4)

      Так как

log 3 x log 3 2 + log 3 x=( 1 log 3 2 +1 ) log 3 x= 1+ log 3 2 log 3 2 log 3 x= log 3 6 log 3 2 log 3 x ,

то уравнение (4) можно переписать в виде

log 3 6 log 3 2 log 3 x= log 3 6 . (5)

      Так как log 3 6 log 3 2 0 , то, разделив обе части уравнения (5) на число log 3 6 log 3 2 , получим уравнение

log 3 x= log 3 2 , (6)

равносильное исходному. Так как уравнение (6) имеет единственный корень x 1 =2 , то и равносильное ему исходное уравнение имеет тот же корень.
      6.15. а) Решите уравнение

log 2 2 x+5 log 3 x log 4 x+ log 5 2 x=0 .

      Решение. Пользуясь формулой перехода к новому основанию, преобразуем левую часть исходного уравнения, получим равносильное ему уравнение:

log 2 2 x+ 5 log 2 2 x log 2 3 log 2 4 + log 2 2 x log 2 2 5 =0 . (7)

      Перепишем уравнение (7) в виде

log 2 2 x( 1+ 5 log 2 3 log 2 4 + 1 log 2 2 5 )=0 . (8)

      Так как число, записанное в скобках, отлично от нуля, то уравнение (8) равносильно уравнению

log 2 2 x=0 , (9)

имеющему единственный корень x1 = 1. Следовательно, исходное уравнение, равносильное уравнению (9), имеет тот же корень.

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим
заменой неизвестного

      В пункте приведены приемы решения уравнений, которые после замены неизвестного сводятся к простейшим показательным или логарифмическим уравнениям.

      Решения и комментарии

      6.19.  а)  Решите уравнение 3 4 x 2 6x+3 10 3 2 x 2 3x+1 +3=0 .
      Решение. Перепишем исходное уравнение в виде

3 3 2( 2 x 2 3x+1 ) 10 3 2 x 2 3x+1 +3=0 . (1)

      Введя новое неизвестное t= 3 2 x 2 3x+1 , перепишем уравнение (1) в виде

3 t 2 10t+3=0 .

      Это уравнение имеет два корня: t 1 =3 , t 2 = 1 3 , следовательно, чтобы найти все корни уравнения (1), надо объединить все корни двух уравнений:

3 2 x 2 3x+1 =3    и   3 2 x 2 3x+1 = 1 3 .

      Первое из этих уравнений равносильно уравнению 2 x 2 3x+1=1 , которое имеет корни 0 и 1,5, а второе уравнение равносильно уравнению 2 x 2 3x+1=1 , которое корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет только два корня: 0 и 1,5.
      6.24.  а)  Решите уравнение 3 x+1 2 3 x+1 2 =1 .
      Решение. Введя новое неизвестное t= 3 x+1 , перепишем исходное уравнение в виде

t 2 t2 =1 . (2)

      Уравнение (2) имеет два корня: t 1 =3 , t 2 =0 , следовательно, чтобы найти все корни исходного уравнения, надо объединить все корни двух уравнений:

3 x+1 =3и 3 x+1 =0 .

      Первое из этих уравнений имеет единственный корень 0, а второе корней не имеет. Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень 0.
      Особое внимание нужно уделить однородным показательным уравнениям. Выше уже разобраны решения однородного показательного уравнения первой степени (задание 6.8). В данном пункте учебника разобрано решение однородного уравнения второй степени. Для подготовки к самостоятельной работе С—23 (после изучения однородных неравенств) можно использовать следующие задания.
      Дополнительные задания. Решите уравнение:
      1.  а)   9 2 x 4 3 x =0 ;
           б)   125 4 x 64 5 x =0 ;
           в)  2 x+4 +11 2 x =8 3 x ;
           г)   25 7 x =2 5 x+2 5 x .
      2.  а)   12 x + 18 x =2 27 x ;
           б)   2 5 2x + 10 x =15 4 x ;
           в)   5 2x+1 +6 20 x = 4 2x+1,5 ;
           г)   4 8 x 12 x = 18 x+1 .
      3.  а)   27 4 1 x 30 6 1 x +8 9 1 x =0 ;
           б)   125 4 1 x 70 10 1 x +8 25 1 x =0 ;
           в)   8 49 1 x 126 14 1 x +343 4 1 x =0 ;
           г)   64 9 1 x +12 12 1 x 27 16 1 x =0 .
      Ответы. 1. а) 2; б) 3; в) 3; г) 2.
                       2. а) 0; б) 1; в) –1; г) –2.
                       3.  а) 1, 1 2 ; б) 1, 1 2 ; в) 1, 1 2 ; г)  1 2 .

      Промежуточный контроль. С—21.

6.4. Простейшие показательные неравенства

      Простейшими показательными неравенствами названы неравенства вида a x >b  и a x <b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике найдены решения простейших показательных неравенств a x > a x 0  и a x < a x 0 . А именно, в учебнике доказана равносильность неравенств:

a x > a x 0  и x> x 0  при a>1 ;
(1)
a x > a x 0  и x< x 0  при 0<a<1 ;
(2)
a x < a x 0  и x< x 0  при a>1 ;
(3)
a x < a x 0  и x> x 0  при 0<a<1 .
(4)

      Наряду с приведенным в учебнике доказательством для доказательства, например, равносильности неравенств (1) можно рассуждать и так.
      Пусть число x 1  — любое решение неравенства x> x 0 , тогда справедливо числовое неравенство x 1 > x 0  и из возрастания функции y= a x ( a>1 )  следует справедливость числового неравенства a x 1 > a x 0 . Но это означает, что любое решение неравенства x> x 0  является решением неравенства a x > a x 0 .
      Пусть теперь число x 1  — любое решение неравенства a x > a x 0 ( a>1 ) , тогда справедливо числовое неравенство a x 1 > a x 0 . Докажем, что тогда x 1 > x 0 . Доказательство проведем от противного.
      Предположим, что x 1 = x 0 , тогда a x 1 = a x 0 , что противоречит условию a x 1 > a x 0 . Значит, это предположение неверно.
      Предположим, что x 1 < x 0 , тогда из возрастания функции y= a x ( a>1 )  следует справедливость числового неравенства a x 1 < a x 0 , что противоречит условию a x 1 > a x 0 . Значит, это предположение неверно.
      Для чисел x 1  и x 0  возможно только одно из трех соотношений x 1 = x 0 , x 1 < x 0  и x 1 > x 0  (п. 1.2). Поэтому, если неверно, что x 1 = x 0  и x 1 < x 0 , то x 1 > x 0 . Но это означает, что любое решение неравенства a x > a x 0  является решением неравенства x> x 0 .
      Следовательно, неравенства a x > a x 0  и x> x 0  равносильны при a>1 .
      Равносильность неравенств (2) — (4) доказывается аналогично.

      Решения и комментарии

      6.34.  а)  Решите неравенство 2 x+2 + 2 x >20 .
      Решение. Перепишем исходное неравенство в виде

2 x ( 2 2 +1 )>20

или в виде

2 x > 2 2 . (5)

      Решениями неравенства (5), а значит, и исходного неравенства являются все x>2 .
      6.35. е) Решите неравенство 625 3 x 81 5 x <0 .
      Решение. Это однородное показательное неравенство первой степени. Разделив его на 625 5 x  и перенеся второе слагаемое в правую часть неравенства, перепишем исходное неравенство в виде

( 3 5 ) x < ( 3 5 ) 4 . (6)

      Так как 0< 3 5 <1 , то решениями неравенства (6), а значит, и равносильного ему исходного неравенства являются все x>4 .

6.5. Простейшие логарифмические неравенства

      Простейшими логарифмическими неравенствами названы неравенства вида log a x>b  и log a x<b , где а — данное положительное, не равное 1 число, b — данное действительное число. В учебнике доказана равносильность неравенств:

log a x> log a x 0  и x> x 0  для a>1 ;
log a x> log a x 0  и 0<x< x 0  для 0<a<1 ;
log a x< log a x 0  и 0<x< x 0  для a>1 ;
log a x< log a x 0  и x> x 0  для 0<a<1 .

      Другими словами, найдены решения простейших логарифмических неравенств.

      Решения и комментарии

      6.42.  а)  Решите неравенство log 2 x+ log 4 x+ log 16 x>3,5 .
      Решение. Так как log 4 x= log 2 x log 2 4 = log 2 x 2 = 1 2 log 2 x ,
a log 16 x= log 2 x log 2 16 = log 2 x 4 = 1 4 log 2 x , то исходное неравенство можно переписать в виде ( 1+ 1 2 + 1 4 ) log 2 x>3,5  или в виде

log 2 x> log 2 4 . (1)

      Неравенство (1), а значит, и равносильное ему исходное неравенство имеют решения: все x>4 .
      6.44.  а)  Решите неравенство log 2 x+ log 3 x< log 3 6 .
      Решение. Так как

log 2 x+ log 3 x= log 3 x log 3 2 + log 3 x= log 3 x( 1 log 3 2 +1 )= 1+ log 3 2 log 3 2 log 3 x= log 3 6 log 3 2 log 3 x ,

то исходное неравенство можно переписать в виде

log 3 6 log 3 2 log 3 x< log 3 6 . (2)

      Умножив неравенство (2) на положительное число log 3 2 log 3 6 , получим равносильное ему неравенство

log 3 x< log 3 2 ,

все решения которого, а значит, и равносильного ему исходного неравенства составляют промежуток 0<x<2 .

6.6. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного

      В пункте приведены приемы решения неравенств, которые после замены неизвестного сводятся к простейшим показательным или логарифмическим неравенствам.

      Решения и комментарии

      6.48.  а)  Решите неравенство 125 3 2x7 27 5 2x7 >0 .
      Решение. Так как 5 2x7 >0  для любого действительного x, то, разделив исходное неравенство на 125 5 2x7 , получим неравенство ( 3 5 ) 2x7 27 125 >0 , равносильное исходному неравенству. Перепишем это неравенство в виде

( 3 5 ) 2x7 > ( 3 5 ) 3 . (1)

      Обозначив t=2x7 , перепишем неравенство (1) в виде простейшего показательного неравенства

( 3 5 ) t > ( 3 5 ) 3 . (2)

      Так как 0< 3 5 <1 , то неравенство (2) равносильно неравенству t<3 , следовательно, все решения неравенства (1) составляют множество решений неравенства 2x7<3 , т. е. промежуток ( ;5 ) .
      Замечание. При решении таких неравенств часто замену неизвестного не записывают в явном виде, переходя от неравенства (1) к равносильному ему неравенству 2x7<3 .
      6.54.  а)  Решите неравенство log 2 ( x 2 5x+4 )<2 .
      Решение. Введя новое неизвестное t= x 2 5x+4  и заменив число 2 на log 2 4 , перепишем исходное неравенство в виде

log 2 t< log 2 4 . (3)

      Так как 2>1 , то все решения неравенства (3) составляют промежуток 0<t<4 . Следовательно, все решения исходного неравенства есть решения двойного неравенства

0< x 2 5x+4<4 . (4)

      Решив двойное неравенство (4), найдем все его решения: x( 0;1 )( 4;5 ) . Они являются также решениями равносильного ему исходного неравенства.
      6.55. а) Решите неравенство log 2 ( log 3 x )>1 .
      Решение. Введя новое неизвестное t= log 3 x  и заменив число 1 на log 2 2 , перепишем исходное неравенство в виде

log 2 t> log 2 2 . (5)

      Так как 2>1 , то неравенство (5) равносильно неравенству t>2 . Поэтому все решения исходного неравенства являются решениями неравенства

log 3 x>2 . (6)

      Неравенство (6) имеет множество решений ( 9;+ ) , следовательно, и равносильное ему исходное неравенство имеет те же решения.
      6.59.  а)  Решите неравенство

1 lg( 3x+1 ) + 2 lg( 3x+1 )+lg0,01 >1 .

      Решение. Введя новое неизвестное t=lg( 3x+1 )  и заменив lg 0,01 числом –2, перепишем исходное неравенство в виде

1 t + 2 t2 >1 . (7)

      Неравенству (7) удовлетворяют все t<2 , все t>2  и все t из промежутка 0<t<1 . Следовательно, множество решений исходного неравенства есть объединение множеств решений трех неравенств:

lg(3x+1)<2,
lg(3x+1)>2,
0<lg(3x+1)<1.

      Эти неравенства имеют множество решений — соответственно ( 1 3 ;0,33 ) , ( 33;+ ) и (0;3) . Поэтому множество решений исходного неравенства есть объединение этих промежутков: ( 1 3 ;0,33 )(0;3)( 33;+ ) .
      6.62.  б)  Решите неравенство 3 9 x 5 6 x +2 4 x <0 .
      Решение. Так как 4 x >0  для любого действительного х, то, разделив исходное неравенство на 4 x , получим неравенство

3 ( 3 2 ) 2x 5 ( 3 2 ) x +2<0 , (8)

равносильное исходному неравенству.
      Введя новое неизвестное t= ( 3 2 ) x , перепишем неравенство (8) в виде

3 t 2 5t+2<0 . (9)

      Множество решений неравенства (9) есть промежуток 2 3 <t<1 . Поэтому, чтобы найти все решения неравенства (8), надо решить двойное неравенство

( 3 2 ) 1 < ( 3 2 ) x < ( 3 2 ) 0 . (10)

      Множество решений неравенства (10) есть интервал ( 1;0 ) . Следовательно, множество решений исходного неравенства (8) есть тот же интервал.
      Особое внимание надо уделить однородным показательным неравенствам. Выше было показано решение однородного показательного неравенства первой степени (задание 6.35), а в данном пункте учебника показан способ решения однородных показательных неравенств второй степени (задание 6.62; см. также п. 23 дидактических материалов).

      Промежуточный контроль. С—22, С—23.
      Контрольная работа № 4.

<<Предыдущий раздел <Содержание> Следующий раздел>>