Дорофеев Г. В. Алгебра. 7 класс


Глава 4. Уравнения

...................................................................
(11 уроков)

Примерное поурочное планирование
учебного материала

Пункт учебника Число уроков
4.1. Алгебраический способ решения задач 1
4.2. Корни уравнения 1
4.3. Решение уравнений 5
4.4. Решение задач с помощью уравнений 3
Зачет № 4 1

Основные цели: сформировать умение решать линейные уравнения, а также создать начальные представления об алгебраическом методе решения текстовых задач.
Обзор главы. Содержание главы направлено на достижение двух взаимосвязанных учебных целей — освоение учащимися приемов решения линейных уравнений с одной переменной, а также осознание ими сущности алгебраического метода решения текстовых задач и формирование начальных навыков решения задач с помощью уравнений.
      Термин «уравнение» уже знаком учащимся, им в принципе известна и возможность составления уравнений по условию задачи. Однако опыт такой работы в силу общей концепции курса, в соответствии с которой в 5—6 классах акцент делается на арифметические способы решения задач, к этому моменту невелик. Поэтому с полным правом можно считать, что в главе 4 начинается обучение решению уравнений и текстовых задач методом составления уравнений.
      В то же время следует помнить, что арифметическим (точнее, логическим) способам решения задач в 5—6 классах уделялось очень много внимания. Текстовые задачи уже решались и в 7 классе. Теперь должен сыграть роль приобретенный опыт работы с задачами (анализ и переформулировка условия, установление связей между величинами и др.) и облегчить овладение деятельностью по составлению уравнений по условию задачи.
      Переводу условия задачи на алгебраический язык в учебнике уделяется большое внимание. Этому посвящен первый пункт главы. Подчеркивается возможность составления разных уравнений по одному и тому же условию.
      Переход к алгебраическому способу решения задач одновременно служит и мотивом к овладению приемами решения уравнений. Рассматриваются два основных правила равносильных преобразований уравнений, но при этом сам термин «равносильные уравнения» пока не вводится. Это будет сделано позже, в следующих классах, когда возникнет необходимость в разговоре о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений. Все уравнения, которые встречаются учащимся в данной главе, сводятся к линейным, т. е. к уравнениям вида ах = b, где а и b — числа, х — переменная. Термин «линейное уравнение» в учебнике используется, рассматривается его общее решение для случая, когда а ≠ 0, однако исследование для случаев а = 0, b ≠ 0 и а = 0, b ≠ 0 не проводится. Здесь, на первом этапе, внимание уделяется основному случаю; вопросы исследования отнесены на более поздний период.
      Завершается глава решением задач алгебраическим методом. При этом в ряде заданий предлагается сопоставить арифметический и алгебраический методы решения, что позволяет понять особенность каждого из них, преимущества, которые предоставляет алгебраический метод.
      В рубрике «Для тех, кому интересно» рассматривается несколько примеров решения нелинейных уравнений с одной переменной с помощью подбора корней. Этот материал расширяет представление учащихся об уравнениях, открывает перед ними некоторые перспективы, а также позволяет применить известные приемы решения задач, например перебор вариантов.

4.1. Алгебраический способ решения задач

      Методический комментарий

      Назначение пункта — разъяснить сущность алгебраического метода решения задач. Для понятия «уравнение» не дается определение, которое нужно было бы запомнить; этим словом в учебнике называется равенство, являющееся переводом условия задачи на язык алгебры.
      В качестве объяснительного примера в тексте разобрана интересная, но нелегкая задача о суммарном возрасте двух пар близнецов. Полезно сопоставить арифметический и алгебраический способы ее решения. Так как арифметическим способом эту задачу решить трудно, то эффект алгебраического решения будет весьма ощутимым. Это послужит для учащихся важным мотивом обучения алгебраическому методу.
      Приведем арифметическое решение указанной задачи. Складывается возраст четверых детей. В 2000 г. возраст каждого из них на 2 года меньше, значит, их суммарный возраст меньше на 2 · 4 = 8 (лет). Таким образом, в 2000 г. близнецам вместе было 50 − 8 = 42 (года).
      Если бы все они были в возрасте младших, то в 2000 г. им было бы вместе 42 − 3 · 2 = 36 (лет). Значит, младшим в 2000 г. было по 36 : 4 = 9 (лет), а старшим — по 9 + 3 = 12 (лет).
      Подчеркнем, что при алгебраическом решении этой задачи нужно не только составить уравнение, но и получить ответ. Иначе у учащихся останется ощущение незавершенности, и методическая идея окажется необыгранной. Коллективное решение уравнения не должно оказаться трудным: все необходимые знания для этого есть.
      Возможно, учитель посчитает задачу, разобранную в тексте, чрезмерно сложной для вводного урока. В этом случае мы рекомендуем заменить ее другой, например задачей 348 (а).
      Все задания этого пункта предполагают только составление (но не решение!) уравнений. Советуем так и поступить. Ведь составление уравнения по условию задачи — самостоятельная и трудно достижимая учебная цель. Гораздо важнее довести до сознания учащихся идею о возможности составления разных уравнений по одному и тому же условию (задачи 348, 349, 355, 356). В дальнейшем, при изучении п. 4.4, можно поговорить о том, какое уравнение выгоднее выбрать. В то же время, после того как в п. 4.3 учащиеся познакомятся с приемами решения уравнений, к этим задачам при желании можно будет вернуться и решить их полностью.
      В классах с невысоким уровнем подготовки рекомендуем ограничиться заданиями из раздела А. Желательно 2—3 раза на доске и в тетрадях полностью описать процесс составления уравнения.

      Комментарий к упражнениям

      353—354. Первую задачу желательно разобрать в классе. Уравнение по задаче 354 составляется по такому же плану. Ее можно предложить для самостоятельной работы в классе или дома.
      355. а) 1) Пусть Петру x лет, тогда отцу 3x лет, а деду 6x лет. Имеем уравнение

x+3x+6x=110 .
      2) Пусть отцу x лет, тогда Петру x 3 лет, а деду 2x лет. Имеем уравнение

x 3 +x+2x=110 .
      3) Пусть деду x лет, тогда Петру x 6 лет, а отцу x 2 лет. Имеем уравнение

x 6 + x 2 +x=110 .
      б) 1) Пусть сестре сейчас x лет, тогда брату сейчас (x + 4) года. Через 2 года сестре будет (x + 2) года, а брату (x + 6) лет. Имеем уравнение

( x+2 )+( x+6 )=16 .
      2) Пусть брату сейчас x лет, тогда сестре сейчас (x − 4) года. Через 2 года брату будет (x + 2) года, а сестре (x − 2) года. Имеем уравнение

( x+2 )+( x2 )=16 .
      3) Пусть через 2 года сестре будет x лет, тогда брату будет (x + 4) года. Имеем уравнение

x+( x+4 )=16 .
      4) Пусть через 2 года брату будет x лет, тогда сестре будет (x − 4) года. Имеем уравнение

x+( x4 )=16 .
      Таким образом, мы составили четыре разных уравнения.
      356. а) x  — число фазанов; 2x + 4(35 − x) = 94;
      б) x  — число кроликов; 4x + 2(35 − x) = 94;
      в) x  — число ног у фазанов; x 2 + 94x 4 =35 ;
      г) x — число ног у кроликов; x 4 + 94x 2 =35 .
      359. Задача трудная. Пусть некто имел x р. Тогда у него стало бы (x + 100) р., значит, у друга было ( x+100 2 +100 ) р. Если бы некто отдал другу 10 р., у него осталось бы (x − 10) р., а у друга стало бы ( x+100 2 +100+10 ) р. Имеем уравнение

x+100 2 +100+10=6( x10 ) .

4.2. Корни уравнения

      Методический комментарий

      В результате изучения пункта учащиеся должны уметь отвечать на вопросы: что называется корнем уравнения и что значит «решить уравнение». Эти определения составляют основу оперативных умений; их знание необходимо для успешного усвоения материала.
      Заданиям обязательного уровня соответствуют упражнения 360—362.

      Комментарий к упражнениям

      363. в) Если класс сильный, то можно предложить порассуждать: например, не проводя вычислений, доказать, что числа 0, 1 и 2 не могут быть корнями данного уравнения. В самом деле, при подстановке в уравнение x3 + 6x2 + 11x + 6 = 0 вместо переменной x нуля или положительного числа в его левой части всегда будет получаться положительное число.
      364. а) Это уравнение разобрано в тексте. Дать уравнения: x2 = 25, x2 = 100, x2 = 0,01.
      365. а) Выражения 3x − 6 и 3(x − 2) равны, а значит, при любом значении x они принимают одно и то же значение.
      367. Ответ: корнем является любое неотрицательное число.
      368. Ответ: множество положительных чисел.

4.3. Решение уравнений

       Методический комментарий

      Переход к алгебраическому способу решения задач одновременно служит мотивом для овладения приемами решения уравнений. В пункте рассматриваются общие правила преобразования уравнений, позволяющие заменять одно уравнение другим, имеющим те же корни. Термин равносильные уравнения здесь не используется.
      Приведем некоторые советы по изучению материала. Текст следует рассматривать небольшими фрагментами, сопровождая каждый из них достаточным для закрепления материала числом заданий.
      Примеры 1—3 из учебника — это образцы рассуждений в наиболее типичных случаях при решении уравнений. После каждого примера должна следовать соответствующая группа упражнений.
      Уже на третьем уроке в систему упражнений можно включать решение несложных задач алгебраическим методом из п. 4.4, помня, однако, что пока главная цель — обучение решению уравнений.
      Свойства числовых равенств, из которых следуют правила преобразований уравнений, желательно проиллюстрировать на примерах. Возьмем, например, верное равенство 20 : 2 = 5 · 2. Прибавим к обеим его частям одно и то же число 7, получим равенство 20 : 2 + 7 = 5 · 2 + 7, которое тоже будет верным.
       После того как будет сформулировано первое правило преобразования уравнений, полезно предложить учащимся элементарные упражнения, направленные на его усвоение:
      1) перенесите в уравнении 3x + 1 = 6x + 14 − x все слагаемые, содержащие переменную, в левую (правую) часть;
      2) запишите какое-нибудь уравнение, которое можно получить из уравнения 2x − 5 = 3x + 7 переносом слагаемого в другую его часть.
      Теперь можно решать уравнения из задания 369.
      На отработку второго правила преобразования уравнений направлены упражнения 370—372. Советуем обратить внимание на возможность обучения такому приему: обе части уравнения делим или умножаем на такое число, чтобы коэффициент при переменной стал равным 1.
      Обязательные результаты обучения по данной теме представлены упражнениями 2—9 из рубрики « Задания для самопроверки к главе 4». Эти задания помогут ограничить круг предлагаемых в учебнике упражнений в слабых классах. В то же время такой уровень подготовки вполне достаточен для решения задач алгебраическим методом.

      Комментарий к упражнениям

      381. Образец рассуждений показан в примере 3.
      Прежде чем приступить к решению уравнений, полезно предложить следующие тренировочные упражнения:
      1) упростите выражения: y 2 2 , y 2 6 , y 2 ( 4 ) ;
      2) упростите выражения: ( x 2 1 3 )6 , ( 1 5 + x 2 )10 .
      386. Неверный ответ ученика опровергается решением предложенного уравнения.
      388, 389. Полезные приемы решения уравнений. Желательно рассмотреть в любом классе.
      391. а) Тот факт, что вместо c можно взять любое целое число, легко увидеть сразу. Если учащиеся ограничатся целыми числами, следует спросить: «А нельзя ли вместо c взять какое-нибудь дробное число?»

4.4. Решение задач с помощью уравнений

      Методический комментарий

      Прежде всего подчеркнем, что введение алгебраического метода решения задач не означает забвение и запрещение приемов рассуждений, которыми учащиеся уже овладели. Должно произойти обогащение и расширение знаний, а не вытеснение старого новым. Поэтому в учебнике встречаются задания, в которых предлагается решить задачу и арифметическим, и алгебраическим способом (420—421). Важно, чтобы учащиеся почувствовали, что в сложных фабульных ситуациях алгебраический способ оказывается проще, а значит, и предпочтительнее. Если им захочется показать, что задачу легко решить с помощью рассуждений, то это очень хорошо. Но ученикам нужно пояснить, что теперь их основная цель — овладение алгебраическим методом, и поэтому им предлагается для этой же задачи составить еще и уравнение. Полезно при этом обсудить, какой способ решения оказался легче.
      Учащиеся уже знают, что по условию задачи можно составлять разные уравнения. Кроме того, у них уже появился определенный опыт решения уравнений, и они знают, что, например, уравнения, содержащие дроби, решать труднее. Поэтому теперь уместно поговорить о том, что при переводе задачи на алгебраический язык имеет смысл стараться получить более простое уравнение. Некоторые советы в учебнике помогают получить более простой перевод. Они сформулированы коротко и образно: «Целое лучше дроби», «Плюс лучше минуса».
      Эти рекомендации можно обсудить при разборе задачи из объяснительного текста. Решим ее по-разному.
      Обозначим буквой x одну из искомых величин и составим соответствующее уравнение.
      Пусть на первом складе стало x т угля, тогда на втором стало (x − 620) т угля. На первом складе сначала было x 2 т, а на втором было x − 620 − 120 = x −740 (т). По условию на двух складах первоначально было 1840 т угля. Получаем уравнение

x 2 +( x740 )=1840 .
      Теперь попробуем рассуждать иначе (ведь совсем не обязательно выбирать в качестве неизвестного то, что требуется найти в задаче!). Может быть, мы сумеем составить более простое уравнение.
      Пусть на первом складе было x т угля, тогда на втором складе было (1840 − x) т угля. На первом складе стало 2 x т угля, а на втором стало (1840 − x) + 120 = 1960 − x (т). По условию на втором складе стало на 620 т угля меньше. Получаем уравнение

2x( 1960x )=620 .
      Теперь можно обсудить, какое уравнение проще, и довести решение до конца. Уместно также поговорить и о том, что условие «на втором складе стало на 620 т угля меньше» можно перевести на алгебраический язык иначе, используя вместо знака «−» знак «+». Получим уравнение

2x=( 1960x )+620 .
      При желании учитель может показать и табличный способ оформления решения.
      Пусть на первом складе было x т угля.

Склад Было угля (т) Изменение в количестве угля Стало угля (т)
1-й x увеличилось в 2 раза 2 x
2-й 1840 − x добавилось 120 т 1960 − x

По условию на втором складе стало на 620 т угля меньше, поэтому

2x( 1960x )=620 .
      Подобные рассуждения в слабом классе можно провести на более простых задачах (например, на задачах 394 и 395). Еще один совет: как и при арифметическом способе решения, полученный ответ надо (иногда) проверять на соответствие условию.
      При изучении этой темы особенно полезна работа в малых группах. Решение задач — сложная деятельность, и на первых порах коллективное обсуждение может помочь.

      Комментарий к упражнениям

      395. б) Нужна переформулировка со словом «больше»: второе число в 5 раз больше первого, а третье число в 2 раза больше второго.
      Задачи 402 и 403 разные по сюжету, но схема составления уравнений одна и та же: с помощью равенства записывается, что расстояние, которое прошел пешеход и проехал велосипедист, одно и то же (задача 402), что в ящики и корзины разложили одинаковое количество яблок (задача 403 а), что в коробках и пакетах одинаковое количество конфет (задача 403 б).
      402. а) Ответ: 4 км/ч; 12 км/ч.
      403. а) Ответ: 9 кг; 6 кг.
      404. Способ 1. Пусть расстояние от реки до деревни равно x км. Имеем уравнение

x 10 + x 15 =1 .
      Способ 2. Пусть на путь от реки до деревни Андрей затратил x ч, тогда на обратный путь он затратил (1 − x) ч.
Имеем уравнение 10x = 15(1 − x).
      407. Ответ: 30 км.
      409. Пусть первую половину пути велосипедист проехал со скоростью x км/ч. Имеем уравнение 3x = 2(x + 4).
      411. Пусть было x больших пакетов, тогда маленьких было (16 − x). Имеем уравнение 500x = 300(16 − x).
      412. Пусть в коробку вмещается x кг, тогда в пакет вмещается (x + 2) кг. Составляем уравнение 3(x + 2) = 5x.
      413. а) Удобно обозначить среднее число через 2n. Тогда имеем уравнение (2n − 2) + 2n + (2n + 2) = 72.
      б) Пусть среднее число равно 2n + 1, тогда предыдущее и последующее числа равны 2n − 1 и 2n + 3.
      При решении задач 414 и 415 должна проявиться привычка искать в условии наименьшую величину.
      415. б) Пусть во втором пакете x кг крупы, тогда в первом 1,5x кг, а в третьем и четвертом по (x + 0,5) кг.
Составляем уравнение: 1,5x + x + 2(x + 0,5) = 14,5.
      416. б) Требуется переформулировать условие задачи: велосипедист выехал на 1 ч позже, а приехал на 0,5 ч раньше; иными словами, на путь от лагеря до станции он затратил на 1,5 ч меньше, чем пешеход.
      Если через x обозначить время движения пешехода (в ч), то получим уравнение

4x=10( x1,5 ) .
      418. а) Пусть длина одной части x м, тогда длина другой x − 0,2x = 0,8 (м). Имеем уравнение

x+0,8x=9,9 .
      419. Пусть первоначальная стоимость товара x p. Тогда после повышения цены на 20% он стал стоить x + 0,2x = 1,2x (р.). Эта цена была снижена на 15%, и товар стал стоить (1,2x − 1,2x · 0,15) р. Имеем уравнение

1,2x1,2x0,15=10,2 .
      Преобразования уравнения легче выполнить, если вынести 1,2x за скобки. Имеем

1,2x( 10,15 )=10,2 , 1,2x0,85=10,2 , x= 10,2 1,20,85 ,x=10 .
      420. Способ 1.
        1 5 + 1 6 = 11 30 — такую часть марок Дима отдал;
        1 11 30 = 19 30 — такую часть марок он оставил себе.
      На 19 30 набора приходится 19 марок. Значит, весь набор составляет 19: 19 30 =30 (марок).
      Способ 2. Пусть в наборе было x марок. Имеем уравнение 1 5 x+ 1 6 x+19=x .
      421. Способ 1. В корзине осталось 10 орехов. Перед этим в ней оставалось 20 орехов. На предыдущем шаге оставалось 40 орехов. До этого было 80 орехов. И наконец, первоначально было 160 орехов.
      Мы решали задачу «обратным ходом». Трудность в том, чтобы не ошибиться в числе удвоений. Помощь в этом может оказать рисунок 4.

      Способ 2. Пусть в корзине было x орехов, тогда в первый раз отсыпали x 2 орехов и в корзине осталось x 2 орехов. Во второй раз отсыпали x 2 1 2 = x 4 орехов, в корзине осталось x 2 x 4 = x 4 орехов. В третий раз отсыпали x 4 1 2 = x 8 орехов, в корзине осталось x 4 1 8 = x 8 орехов. В четвертый раз отсыпали x 8 1 2 = x 16 орехов, в корзине осталось x 8 x 16 = x 16 орехов.
      По условию задачи в корзине осталось 10 орехов. Составим уравнение:

x 16 =10,x=160 .
      Ответ: 160 орехов.
      422. Пусть в стае было x гусей. Имеем уравнение

x+x+ 1 2 x+ 1 4 x+x=100 .
      423. Пусть у Пифагора было x учеников. Имеем уравнение 1 2 x+ 1 4 x+ 1 7 x+3=x .
      424. Пусть весь путь равен x верстам. Путник прошел путь, равный ( 3+ 1 3 ( x3 ) ) верстам. Следующее условие формулируем так: если бы он прошел еще одну версту, то осталось бы пройти половину всего пути, т. е. он прошел бы половину всего пути. Имеем уравнение

3+ 1 3 ( x3 )+1= 1 2 x .
      Решив уравнение, найдем, что x = 18. Значит, путнику осталось пройти 10 верст.
      425. Пусть в ящике было x p. Первый мужчина положил столько же и взял 2 p., после чего в ящике осталось (2x − 2) р.
      Второй мужчина положил столько же, сколько осталось, и забрал 2 p., после чего в ящике осталось

( 2x2 )+( 2x2 )2=4x6( p. ) .
      Третий мужчина положил столько же, сколько осталось, и забрал 2 p., после чего в ящике осталось

( 4x6 )+( 4x6 )2=8x14( p. ) .
      Имеем уравнение 8x − 14 = 0.
      Отсюда находим, что x=1 3 4 , т. е. в ящике было 1 р. 75 к.
      Результат кажется неправдоподобным, поэтому пусть ученики проделают все описанные в задаче манипуляции с найденной суммой.

4.5. Некоторые неалгоритмические приемы решения уравнений
(Для тех, кому интересно)

      Методический комментарий

      В пункте разбираются два примера решения уравнений с помощью неожиданного и эффектного приема — подбора корней. Он основывается на содержательной трактовке выражений, входящих в уравнение. Упражнения 426 и 427 фактически дублируют вторую задачу, разобранную в объяснительном тексте, остальные упражнения содержат некоторые новые идеи.

      Комментарий к упражнениям

      428. В левой части уравнения — сумма двух последовательных квадратов, и она равна 25; понятно, что это 9 и 16. Далее достаточно решить уравнения х2 = 16 и х2 = 9 и для каждого найденного числа с помощью подстановки выяснить, является ли оно корнем данного уравнения.
      Ответ: 4 и −3.
      430. Прежде всего устанавливаем, что сумма двух смежных сторон прямоугольника равна 14 см. Приходим к двум следующим задачам:
      1) Сумма двух натуральных чисел равна 14. Может ли их произведение равняться 33? Перебирая пары натуральных чисел, сумма которых равна 14, находим пару: 3 и 11.
      Ответ: может.
      2) Выясним теперь, может ли произведение двух натуральных чисел, дающих в сумме 14, равняться 40. Точно так же, перебирая пары чисел, сумма которых равна 14, находим пару: 4 и 10.
      Ответ: может.
      Этот перебор можно сократить, если заметить следующее: так как произведение — четное число, то хотя бы один из множителей также является четным; так как сумма, равная 14, — четное число и одно из слагаемых является четным, то и второе слагаемое — четное число.

Дополнительные задания к главе 4

      Указания и решения

      444. Способ 1. Пусть было x друзей. Имеем уравнение

20x+40=30x60 .
      Здесь в левой и правой частях равенства — стоимость мяча.
      Способ 2. Пусть мяч стоит x р. Имеем уравнение

x40 20 = x+60 30 .
      Здесь в левой и правой частях равенства — число друзей.
      445. Способ 1. Пусть в 1 кг смеси содержится x кг конфет по 110 р., тогда конфет по 150 р. будет (1 − x) кг. Имеем уравнение

110x+150( 1x )=120 , x=0,75 .
      Способ 2. Пусть 1 кг смеси содержит x кг конфет по 150 р. Имеем уравнение

150x110( 1x )=120 , x=0,25 .
      446. Способ 1. Пусть Диме x лет, тогда Толе 2x лет, а Коле (x + 4) года. Имеем уравнение

2x( x+4 )=4 .
      Способ 2. Пусть Толе x лет, тогда Диме x 2 лет, а Коле ( x 2 +4 ) года. Имеем уравнение

x( x 2 +4 )=4 .
      Способ 3. Пусть Коле x лет, в этом случае Диме (x − 4) года, а Толе 2(x − 4) года. Имеем уравнение

2( x4 )x=4 .

<<Предыдущий раздел <Содержание> Следующий раздел>>